Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Unicode version

Theorem metustsym 20268
 Description: Elements of the filter base generated by the metric are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustsym PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4
21metustss 20260 . . 3 PsMet
3 cnvss 5119 . . . 4
4 cnvxp 5362 . . . 4
53, 4syl6sseq 3509 . . 3
62, 5syl 16 . 2 PsMet
7 simp-4l 765 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
8 simpr1r 1046 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
983anassrs 1210 . . . . . . . . . . 11 PsMet
10 simpr1l 1045 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
11103anassrs 1210 . . . . . . . . . . 11 PsMet
12 psmetsym 20017 . . . . . . . . . . 11 PsMet
137, 9, 11, 12syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10 PsMet
14 df-ov 6202 . . . . . . . . . 10
15 df-ov 6202 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 153eqtr3g 2518 . . . . . . . . 9 PsMet
1716eleq1d 2523 . . . . . . . 8 PsMet
18 psmetf 20013 . . . . . . . . . 10 PsMet
19 ffun 5668 . . . . . . . . . 10
207, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9 PsMet
21 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
2221ancomd 451 . . . . . . . . . . 11 PsMet
23 opelxpi 4978 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10 PsMet
25 fdm 5670 . . . . . . . . . . . 12
2618, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11 PsMet
277, 26syl 16 . . . . . . . . . 10 PsMet
2824, 27eleqtrrd 2545 . . . . . . . . 9 PsMet
29 fvimacnv 5926 . . . . . . . . 9
3020, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8 PsMet
31 opelxpi 4978 . . . . . . . . . . 11
3221, 31syl 16 . . . . . . . . . 10 PsMet
3332, 27eleqtrrd 2545 . . . . . . . . 9 PsMet
34 fvimacnv 5926 . . . . . . . . 9
3520, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8 PsMet
3617, 30, 353bitr3d 283 . . . . . . 7 PsMet
37 simpr 461 . . . . . . . 8 PsMet
3837eleq2d 2524 . . . . . . 7 PsMet
3937eleq2d 2524 . . . . . . 7 PsMet
4036, 38, 393bitr4d 285 . . . . . 6 PsMet
41 simplr 754 . . . . . . 7 PsMet
42 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
4342elrnmpt 5193 . . . . . . . . 9
4443ibi 241 . . . . . . . 8
4544, 1eleq2s 2562 . . . . . . 7
4641, 45syl 16 . . . . . 6 PsMet
4740, 46r19.29a 2966 . . . . 5 PsMet
48 df-br 4400 . . . . . 6
49 vex 3079 . . . . . . 7
50 vex 3079 . . . . . . 7
5149, 50opelcnv 5128 . . . . . 6
5248, 51bitri 249 . . . . 5
53 df-br 4400 . . . . 5
5447, 52, 533bitr4g 288 . . . 4 PsMet
5554ex 434 . . 3 PsMet
56553impib 1186 . 2 PsMet
576, 2, 56eqbrrdva 5116 1 PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wrex 2799   wss 3435  cop 3990   class class class wbr 4399   cmpt 4457   cxp 4945  ccnv 4946   cdm 4947   crn 4948  cima 4950   wfun 5519  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6199  cc0 9392  cxr 9527  crp 11101  cico 11412  PsMetcpsmet 17924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-xadd 11200  df-psmet 17933 This theorem is referenced by:  metust  20274
 Copyright terms: Public domain W3C validator