Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metustid 21647
 Description: The identity diagonal is included in all elements of the filter base generated by the metric . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustid PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5138 . . 3
21a1i 11 . 2 PsMet
3 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15
43brres 5117 . . . . . . . . . . . . . 14
5 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . 14
63ideq 4992 . . . . . . . . . . . . . . 15
76anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . 14
84, 5, 73bitr3i 283 . . . . . . . . . . . . 13
98biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12
109ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11 PsMet
1110simpld 466 . . . . . . . . . 10 PsMet
12 df-ov 6311 . . . . . . . . . . 11
13 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . 12
1413fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
1512, 14syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9 PsMet
17 simplll 776 . . . . . . . . . 10 PsMet PsMet
1810simprd 470 . . . . . . . . . 10 PsMet
19 psmet0 21402 . . . . . . . . . 10 PsMet
2017, 18, 19syl2anc 673 . . . . . . . . 9 PsMet
2116, 20eqtr3d 2507 . . . . . . . 8 PsMet
22 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10
24 rpxr 11332 . . . . . . . . . 10
25 rpgt0 11336 . . . . . . . . . 10
26 lbico1 11714 . . . . . . . . . 10
2723, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
2827adantl 473 . . . . . . . 8 PsMet
2921, 28eqeltrd 2549 . . . . . . 7 PsMet
30 psmetf 21400 . . . . . . . . . 10 PsMet
31 ffun 5742 . . . . . . . . . 10
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 PsMet
3332ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 PsMet
3411, 18eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10 PsMet
35 opelxpi 4871 . . . . . . . . . 10
3618, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . . . 9 PsMet
37 fdm 5745 . . . . . . . . . . 11
3830, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 PsMet
3938ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 PsMet
4036, 39eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8 PsMet
41 fvimacnv 6012 . . . . . . . 8
4233, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . 7 PsMet
4329, 42mpbid 215 . . . . . 6 PsMet
4443adantr 472 . . . . 5 PsMet
45 simpr 468 . . . . 5 PsMet
4644, 45eleqtrrd 2552 . . . 4 PsMet
47 simplr 770 . . . . 5 PsMet
48 metust.1 . . . . . . 7
4948metustel 21643 . . . . . 6 PsMet
5049ad2antrr 740 . . . . 5 PsMet
5147, 50mpbid 215 . . . 4 PsMet
5246, 51r19.29a 2918 . . 3 PsMet
5352ex 441 . 2 PsMet
542, 53relssdv 4932 1 PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   wss 3390  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wrel 4844   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693  crp 11325  cico 11662  PsMetcpsmet 19031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-rp 11326  df-ico 11666  df-psmet 19039 This theorem is referenced by:  metustfbas  21650  metust  21651
 Copyright terms: Public domain W3C validator