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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > metustfbas | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The filter base generated
by a metric ![]() |
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metust.1 |
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metustfbas |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | metust.1 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | metustel 21614 |
. . . . . 6
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3 | simpr 467 |
. . . . . . . . 9
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4 | cnvimass 5207 |
. . . . . . . . . 10
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5 | psmetf 21371 |
. . . . . . . . . . . 12
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6 | fdm 5756 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 7 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 4, 8 | syl5sseq 3492 |
. . . . . . . . 9
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10 | 3, 9 | eqsstrd 3478 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | ex 440 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | rexlimdvw 2894 |
. . . . . 6
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13 | 2, 12 | sylbid 223 |
. . . . 5
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14 | 13 | ralrimiv 2812 |
. . . 4
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15 | pwssb 4382 |
. . . 4
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16 | 14, 15 | sylibr 217 |
. . 3
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17 | 16 | adantl 472 |
. 2
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18 | cnvexg 6766 |
. . . . . . 7
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19 | imaexg 6757 |
. . . . . . 7
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20 | elisset 3069 |
. . . . . . 7
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21 | 1rp 11335 |
. . . . . . . . 9
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22 | oveq2 6323 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | imaeq2d 5187 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | eqeq2d 2472 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | rspcev 3162 |
. . . . . . . . 9
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26 | 21, 25 | mpan 681 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | eximi 1718 |
. . . . . . 7
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28 | 18, 19, 20, 27 | 4syl 19 |
. . . . . 6
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29 | 2 | exbidv 1779 |
. . . . . 6
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30 | 28, 29 | mpbird 240 |
. . . . 5
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31 | 30 | adantl 472 |
. . . 4
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32 | n0 3753 |
. . . 4
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33 | 31, 32 | sylibr 217 |
. . 3
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34 | 1 | metustid 21618 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | adantll 725 |
. . . . . 6
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36 | n0 3753 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | biimpi 199 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | adantr 471 |
. . . . . . . 8
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39 | opelresi 5135 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | ibir 250 |
. . . . . . . . . 10
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41 | ne0i 3749 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | exlimiv 1787 |
. . . . . . . 8
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44 | 38, 43 | syl 17 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | adantr 471 |
. . . . . 6
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46 | ssn0 3779 |
. . . . . 6
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47 | 35, 45, 46 | syl2anc 671 |
. . . . 5
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48 | 47 | nelrdva 3261 |
. . . 4
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49 | df-nel 2636 |
. . . 4
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50 | 48, 49 | sylibr 217 |
. . 3
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51 | df-ss 3430 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | biimpi 199 |
. . . . . . . 8
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53 | 52 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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54 | simplrl 775 |
. . . . . . 7
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55 | 53, 54 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
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56 | dfss1 3649 |
. . . . . . . . 9
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57 | 56 | biimpi 199 |
. . . . . . . 8
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58 | 57 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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59 | simplrr 776 |
. . . . . . 7
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60 | 58, 59 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
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61 | simplr 767 |
. . . . . . 7
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62 | simprl 769 |
. . . . . . 7
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63 | simprr 771 |
. . . . . . 7
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64 | 1 | metustto 21617 |
. . . . . . 7
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65 | 61, 62, 63, 64 | syl3anc 1276 |
. . . . . 6
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66 | 55, 60, 65 | mpjaodan 800 |
. . . . 5
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67 | vex 3060 |
. . . . . . . . 9
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68 | 67 | inex1 4558 |
. . . . . . . 8
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69 | 68 | pwid 3977 |
. . . . . . 7
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70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . 6
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71 | 70 | elpwid 3973 |
. . . . 5
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72 | sseq1 3465 |
. . . . . 6
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73 | 72 | rspcev 3162 |
. . . . 5
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74 | 66, 71, 73 | syl2anc 671 |
. . . 4
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75 | 74 | ralrimivva 2821 |
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76 | 33, 50, 75 | 3jca 1194 |
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77 | elfvex 5915 |
. . . . 5
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78 | 77 | adantl 472 |
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79 | xpexg 6620 |
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80 | 78, 78, 79 | syl2anc 671 |
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81 | isfbas2 20899 |
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82 | 80, 81 | syl 17 |
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83 | 17, 76, 82 | mpbir2and 938 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-op 3987 df-uni 4213 df-iun 4294 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-er 7389 df-map 7500 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-rp 11332 df-ico 11670 df-psmet 19011 df-fbas 19016 |
This theorem is referenced by: metust 21622 cfilucfil 21623 metuel 21628 psmetutop 21631 restmetu 21634 metucn 21635 |
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