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Theorem metustexhalf 21649
 Description: For any element of the filter base generated by the metric , the half element (corresponding to half the distance) is also in this base. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustexhalf PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustexhalf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 785 . . . 4 PsMet PsMet
2 simplr 770 . . . . . 6 PsMet
32rphalfcld 11376 . . . . 5 PsMet
4 eqidd 2472 . . . . 5 PsMet
5 oveq2 6316 . . . . . . . 8
65imaeq2d 5174 . . . . . . 7
76eqeq2d 2481 . . . . . 6
87rspcev 3136 . . . . 5
93, 4, 8syl2anc 673 . . . 4 PsMet
10 metust.1 . . . . . . 7
11 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
1211imaeq2d 5174 . . . . . . . . 9
1312cbvmptv 4488 . . . . . . . 8
1413rneqi 5067 . . . . . . 7
1510, 14eqtri 2493 . . . . . 6
1615metustel 21643 . . . . 5 PsMet
1716biimpar 493 . . . 4 PsMet
181, 9, 17syl2anc 673 . . 3 PsMet
19 relco 5340 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4 PsMet
21 cossxp 5365 . . . . . . . . . 10
22 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . 14
23 psmetf 21400 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
24 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
2622, 25syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
27 dmss 5039 . . . . . . . . . . . . . 14
28 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . 14
29 xpss12 4945 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
3231adantl 473 . . . . . . . . . . 11 PsMet
33 dmxp 5059 . . . . . . . . . . . . 13
34 rnxp 5273 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . 12
3635adantr 472 . . . . . . . . . . 11 PsMet
3732, 36sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10 PsMet
3821, 37syl5ss 3429 . . . . . . . . 9 PsMet
3938ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 PsMet
4039sselda 3418 . . . . . . 7 PsMet
41 opelxp 4869 . . . . . . 7
4240, 41sylib 201 . . . . . 6 PsMet
43 simpll 768 . . . . . . 7 PsMet PsMet
44 simprl 772 . . . . . . 7 PsMet
45 simprr 774 . . . . . . 7 PsMet
46 simplr 770 . . . . . . 7 PsMet
47 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet PsMet
4847simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet PsMet
4948, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet PsMet
5048, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
5149, 50jca 541 . . . . . . . . . . . 12 PsMet PsMet
5247simp2d 1043 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
5347simp3d 1044 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
5451, 52, 533jca 1210 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
55 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 PsMet
56 simprl 772 . . . . . . . . . . 11 PsMet
57 simprr 774 . . . . . . . . . . 11 PsMet
58 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet PsMet
5958simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet PsMet
6059simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet PsMet
61 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14
6223, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
6458simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
6558simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
6664, 65, 41sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
6760, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
6866, 67eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
69 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . 14
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
7159simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
7271rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
7360, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
7473, 66ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
75 psmetge0 21406 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
7660, 64, 65, 75syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
77 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
7876, 77syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
7977, 74syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
80 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
8171rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
8281rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PsMet
8382rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
84 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 PsMet
86 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8764, 85, 86sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PsMet
8887, 67eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
89 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PsMet
90 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9189, 90sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
92 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9392biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9463, 88, 91, 93syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PsMet
9584, 94syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
96 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9796biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9980, 83, 95, 98syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
100 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10285, 65, 101sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PsMet
103102, 67eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
104 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PsMet
105 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106104, 105sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
107 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
108107biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10963, 103, 106, 108syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PsMet
110100, 109syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
111 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112111biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11480, 83, 110, 113syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
115 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11699, 114, 115syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
11799, 114readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
118116, 117eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
119118rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
120 psmettri 21405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
12160, 64, 65, 85, 120syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
12297simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12380, 83, 95, 122syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
124112simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12580, 83, 110, 124syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
12699, 114, 81, 123, 125lt2halvesd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
127116, 126eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
12879, 119, 72, 121, 127xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
12977, 128syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
130 elico1 11704 . . . . . . . . . . . . . 14
131130biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13
13270, 72, 74, 78, 129, 131syl23anc 1299 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
133 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . . . . . 14
134133biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13
135 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . 13
136134, 135sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
13763, 68, 132, 136syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11 PsMet
13854, 55, 56, 57, 137syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10 PsMet
13948simprd 470 . . . . . . . . . . 11 PsMet
140139breqd 4406 . . . . . . . . . 10 PsMet
141138, 140mpbird 240 . . . . . . . . 9 PsMet
142 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
143 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . 13
144142, 143sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
145 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13
146 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13
147145, 146brco 5010 . . . . . . . . . . . 12
148144, 147sylib 201 . . . . . . . . . . 11 PsMet
14926adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PsMet
150149, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
15134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PsMet
152150, 151sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PsMet
153152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
154 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155145, 154brelrn 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
157153, 156sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
158157adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
159158ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
160159ancrd 563 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
161160eximdv 1772 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
162161ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
1631623ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
164163adantr 472 . . . . . . . . . . 11 PsMet
165148, 164mpd 15 . . . . . . . . . 10 PsMet
166 df-rex 2762 . . . . . . . . . 10
167165, 166sylibr 217 . . . . . . . . 9 PsMet
168141, 167r19.29a 2918 . . . . . . . 8 PsMet
169 df-br 4396 . . . . . . . 8
170168, 169sylib 201 . . . . . . 7 PsMet
17143, 44, 45, 46, 170syl31anc 1295 . . . . . 6 PsMet
17242, 171mpdan 681 . . . . 5 PsMet
173172ex 441 . . . 4 PsMet
17420, 173relssdv 4932 . . 3 PsMet
175 id 22 . . . . . 6
176175, 175coeq12d 5004 . . . . 5
177176sseq1d 3445 . . . 4
178177rspcev 3136 . . 3
17918, 174, 178syl2anc 673 . 2 PsMet
18010metustel 21643 . . . 4 PsMet
181180adantl 473 . . 3 PsMet
182181biimpa 492 . 2 PsMet
183179, 182r19.29a 2918 1 PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   wss 3390  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   ccom 4843   wrel 4844   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cxad 11430  cico 11662  PsMetcpsmet 19031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-psmet 19039 This theorem is referenced by:  metust  21651
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