Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metustbl 21593
 Description: The "section" image of an entourage at a point always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl PsMet metUnif
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1009 . . 3 PsMet metUnif PsMet
2 simp3 1011 . . 3 PsMet metUnif
3 simpr 463 . . . . 5 PsMet metUnif
4 vex 3050 . . . . . . . 8
5 eqid 2453 . . . . . . . . 9
65elrnmpt 5084 . . . . . . . 8
74, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
87biimpi 198 . . . . . 6
98ad2antlr 734 . . . . 5 PsMet metUnif
10 sseq1 3455 . . . . . . 7
1110biimpcd 228 . . . . . 6
1211reximdv 2863 . . . . 5
133, 9, 12sylc 62 . . . 4 PsMet metUnif
14 ne0i 3739 . . . . . 6
152, 14syl 17 . . . . 5 PsMet metUnif
16 simp2 1010 . . . . 5 PsMet metUnif metUnif
17 metuel 21591 . . . . . 6 PsMet metUnif
1817simplbda 630 . . . . 5 PsMet metUnif
1915, 1, 16, 18syl21anc 1268 . . . 4 PsMet metUnif
2013, 19r19.29a 2934 . . 3 PsMet metUnif
21 imass1 5206 . . . . . 6
2221reximi 2857 . . . . 5
23 blval2 21589 . . . . . . . 8 PsMet
2423sseq1d 3461 . . . . . . 7 PsMet
25243expa 1209 . . . . . 6 PsMet
2625rexbidva 2900 . . . . 5 PsMet
2722, 26syl5ibr 225 . . . 4 PsMet
2827imp 431 . . 3 PsMet
291, 2, 20, 28syl21anc 1268 . 2 PsMet metUnif
30 blssexps 21453 . . 3 PsMet
31303adant2 1028 . 2 PsMet metUnif
3229, 31mpbird 236 1 PsMet metUnif
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wrex 2740  cvv 3047   wss 3406  c0 3733  csn 3970   cmpt 4464   cxp 4835  ccnv 4836   crn 4838  cima 4840  cfv 5585  (class class class)co 6295  cc0 9544  crp 11309  cico 11644  PsMetcpsmet 18966  cbl 18969  metUnifcmetu 18973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ico 11648  df-psmet 18974  df-bl 18977  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-metu 18981 This theorem is referenced by:  psmetutop  21594
 Copyright terms: Public domain W3C validator