Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Unicode version

Theorem metustbl 20814
 Description: The "section" image of an entourage at a point always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl PsMet metUnif
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3 PsMet metUnif PsMet
2 simp3 993 . . 3 PsMet metUnif
3 simpr 461 . . . . 5 PsMet metUnif
4 vex 3111 . . . . . . . 8
5 eqid 2462 . . . . . . . . 9
65elrnmpt 5242 . . . . . . . 8
74, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
87biimpi 194 . . . . . 6
98ad2antlr 726 . . . . 5 PsMet metUnif
10 sseq1 3520 . . . . . . . 8
1110biimpcd 224 . . . . . . 7
1211reximdv 2932 . . . . . 6
1312imp 429 . . . . 5
143, 9, 13syl2anc 661 . . . 4 PsMet metUnif
15 ne0i 3786 . . . . . 6
162, 15syl 16 . . . . 5 PsMet metUnif
17 simp2 992 . . . . 5 PsMet metUnif metUnif
18 metuel 20811 . . . . . 6 PsMet metUnif
1918simplbda 624 . . . . 5 PsMet metUnif
2016, 1, 17, 19syl21anc 1222 . . . 4 PsMet metUnif
2114, 20r19.29a 2998 . . 3 PsMet metUnif
22 imass1 5364 . . . . . 6
2322reximi 2927 . . . . 5
24 blval2 20808 . . . . . . . 8 PsMet
2524sseq1d 3526 . . . . . . 7 PsMet
26253expa 1191 . . . . . 6 PsMet
2726rexbidva 2965 . . . . 5 PsMet
2823, 27syl5ibr 221 . . . 4 PsMet
2928imp 429 . . 3 PsMet
301, 2, 21, 29syl21anc 1222 . 2 PsMet metUnif
31 blssexps 20659 . . 3 PsMet
32313adant2 1010 . 2 PsMet metUnif
3330, 32mpbird 232 1 PsMet metUnif
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   wne 2657  wrex 2810  cvv 3108   wss 3471  c0 3780  csn 4022   cmpt 4500   cxp 4992  ccnv 4993   crn 4995  cima 4997  cfv 5581  (class class class)co 6277  cc0 9483  crp 11211  cico 11522  PsMetcpsmet 18168  cbl 18171  metUnifcmetu 18176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-psmet 18177  df-bl 18180  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-metu 18185 This theorem is referenced by:  psmetutop  20816
 Copyright terms: Public domain W3C validator