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Theorem metustOLD 20273
Description: The uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
metustOLD  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a

Proof of Theorem metustOLD
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustfbasOLD 20271 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
3 fgcl 19582 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
4 filsspw 19555 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F ) 
C_  ~P ( X  X.  X ) )
6 filtop 19559 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
72, 3, 63syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( X  X.  X
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
82, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
10 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )
1211elpwid 3977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  C_  w )
14 filss 19557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  w  C_  ( X  X.  X )  /\  v  C_  w ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
1615ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  -> 
( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2829 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
19 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
21 filin 19558 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
2322ralrimiva 2829 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
24 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
26 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  F )
271metustidOLD 20265 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  F
)  ->  (  _I  |`  X )  C_  u
)
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
29 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  v )
3028, 29sstrd 3473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
31 elfg 19575 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. u  e.  F  u 
C_  v ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. u  e.  F  u  C_  v
) )
3332simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
342, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
3530, 34r19.29a 2966 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
368ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
38 ssfg 19576 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4140, 26sseldd 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4232simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
432, 42sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
45 cnvss 5119 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  `' ( X  X.  X ) )
46 cnvxp 5362 . . . . . . . . 9  |-  `' ( X  X.  X )  =  ( X  X.  X )
4745, 46syl6sseq 3509 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
4844, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
491metustsymOLD 20267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  F
)  ->  `' u  =  u )
5025, 26, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  =  u )
51 cnvss 5119 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  v  ->  `' u  C_  `' v )
5251adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  C_  `' v )
5350, 52eqsstr3d 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  `' v )
54 filss 19557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  `' v  C_  ( X  X.  X
)  /\  u  C_  `' v ) )  ->  `' v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
5536, 41, 48, 53, 54syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
5655, 34r19.29a 2966 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
57 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  X  =/=  (/) )
581metustexhalfOLD 20269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  u  e.  F )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u )
5957, 25, 26, 58syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
60 r19.41v 2977 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  <->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  u  /\  u  C_  v ) )
61 sstr 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  -> 
( w  o.  w
)  C_  v )
6261reximi 2927 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6360, 62sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6459, 29, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
6564, 34r19.29a 2966 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
66 ssrexv 3524 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( ( X  X.  X ) filGen F )  ->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  v  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6739, 65, 66sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
6835, 56, 673jca 1168 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6917, 23, 683jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
7069ralrimiva 2829 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  A. v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
71 elfvex 5825 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  _V )
7271adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  _V )
73 isust 19909 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  <->  ( (
( X  X.  X
) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
755, 7, 70, 74mpbir3and 1171 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967    |-> cmpt 4457    _I cid 4738    X. cxp 4945   `'ccnv 4946   ran crn 4948    |` cres 4949   "cima 4950    o. ccom 4951   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   RR+crp 11101   [,)cico 11412   *Metcxmt 17925   fBascfbas 17928   filGencfg 17929   Filcfil 19549  UnifOncust 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-2 10490  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ico 11416  df-xmet 17934  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-fil 19550  df-ust 19906
This theorem is referenced by:  cfilucfilOLD  20275  metuustOLD  20277  metucnOLD  20294
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