MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustOLD Unicode version

Theorem metustOLD 18550
Description: The uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
metustOLD  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )
)
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a

Proof of Theorem metustOLD
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustfbasOLD 18548 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
3 fgcl 17863 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
4 filsspw 17836 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
52, 3, 43syl 19 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
) )
6 filtop 17840 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
72, 3, 63syl 19 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
82, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
98ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
10 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
11 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )
1211elpwid 3768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
13 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  C_  w )
14 filss 17838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  w  C_  ( X  X.  X )  /\  v  C_  w ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
1615ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  -> 
( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
19 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
20 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
21 filin 17839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
2322ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
24 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
26 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  F )
271metustidOLD 18542 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  F
)  ->  (  _I  |`  X )  C_  u
)
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
29 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  v )
3028, 29sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
31 elfg 17856 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. u  e.  F  u 
C_  v ) ) )
3231biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. u  e.  F  u  C_  v
) )
3332simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
342, 33sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
3530, 34r19.29a 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v
)
368ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
372adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
38 ssfg 17857 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4140, 26sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4232simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
432, 42sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
45 cnvss 5004 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  `' ( X  X.  X ) )
46 cnvxp 5249 . . . . . . . . 9  |-  `' ( X  X.  X )  =  ( X  X.  X )
4745, 46syl6sseq 3354 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
4844, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
491metustsymOLD 18544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  F
)  ->  `' u  =  u )
5025, 26, 49syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  =  u )
51 cnvss 5004 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  v  ->  `' u  C_  `' v )
5251adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  C_  `' v )
5350, 52eqsstr3d 3343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  `' v )
54 filss 17838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  `' v  C_  ( X  X.  X
)  /\  u  C_  `' v ) )  ->  `' v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
5536, 41, 48, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
5655, 34r19.29a 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
57 simp-4l 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  X  =/=  (/) )
581metustexhalfOLD 18546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  u  e.  F )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
5957, 25, 26, 58syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
60 r19.41v 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  <->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  u  /\  u  C_  v ) )
61 sstr 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  -> 
( w  o.  w
)  C_  v )
6261reximi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6360, 62sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6459, 29, 63syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
6564, 34r19.29a 2810 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
66 ssrexv 3368 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( ( X  X.  X ) filGen F )  ->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  v  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6739, 65, 66sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
6835, 56, 673jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6917, 23, 683jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
7069ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
71 elfvex 5717 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  _V )
7271adantl 453 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  X  e.  _V )
73 isust 18186 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
755, 7, 70, 74mpbir3and 1137 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759    e. cmpt 4226    _I cid 4453    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   RR+crp 10568   [,)cico 10874   * Metcxmt 16641   fBascfbas 16644   filGencfg 16645   Filcfil 17830  UnifOncust 18182
This theorem is referenced by:  cfilucfilOLD  18552  metuustOLD  18554  metucnOLD  18571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-xmet 16650  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-ust 18183
  Copyright terms: Public domain W3C validator