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Theorem metust 20148
Description: The uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
metust  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a

Proof of Theorem metust
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustfbas 20146 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
3 fgcl 19456 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
4 filsspw 19429 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
6 filtop 19433 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
72, 3, 63syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
82, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
10 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )
1211elpwid 3875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  C_  w )
14 filss 19431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  w  C_  ( X  X.  X )  /\  v  C_  w ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
1615ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  -> 
( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
19 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
21 filin 19432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
2322ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
24 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
26 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  F )
271metustid 20140 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
29 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  v )
3028, 29sstrd 3371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
31 elfg 19449 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. u  e.  F  u 
C_  v ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. u  e.  F  u  C_  v
) )
3332simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
342, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
3530, 34r19.29a 2867 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v
)
368ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
38 ssfg 19450 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4140, 26sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4232simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
432, 42sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
45 cnvss 5017 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  `' ( X  X.  X ) )
46 cnvxp 5260 . . . . . . . . 9  |-  `' ( X  X.  X )  =  ( X  X.  X )
4745, 46syl6sseq 3407 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
4844, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
491metustsym 20142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  `' u  =  u )
5025, 26, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  =  u )
51 cnvss 5017 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  v  ->  `' u  C_  `' v )
5251adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  C_  `' v )
5350, 52eqsstr3d 3396 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  `' v )
54 filss 19431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  `' v  C_  ( X  X.  X
)  /\  u  C_  `' v ) )  ->  `' v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
5536, 41, 48, 53, 54syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
5655, 34r19.29a 2867 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
57 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  X  =/=  (/) )
581metustexhalf 20144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  u  e.  F )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
5957, 25, 26, 58syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
60 r19.41v 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  <->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  u  /\  u  C_  v ) )
61 sstr 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  -> 
( w  o.  w
)  C_  v )
6261reximi 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6360, 62sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6459, 29, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
6564, 34r19.29a 2867 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
66 ssrexv 3422 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( ( X  X.  X ) filGen F )  ->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  v  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6739, 65, 66sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
6835, 56, 673jca 1168 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6917, 23, 683jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
7069ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
71 elfvex 5722 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
7271adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  X  e.  _V )
73 isust 19783 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  <->  ( ( ( X  X.  X ) filGen F ) 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
755, 7, 70, 74mpbir3and 1171 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865    e. cmpt 4355    _I cid 4636    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    o. ccom 4849   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   RR+crp 10996   [,)cico 11307  PsMetcpsmet 17805   fBascfbas 17809   filGencfg 17810   Filcfil 19423  UnifOncust 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-2 10385  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ico 11311  df-psmet 17814  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-fil 19424  df-ust 19780
This theorem is referenced by:  cfilucfil  20150  metuust  20152  metucn  20169
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