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Theorem metust 20806
Description: The uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
metust  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a

Proof of Theorem metust
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustfbas 20804 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
3 fgcl 20114 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
4 filsspw 20087 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
6 filtop 20091 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
72, 3, 63syl 20 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
82, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
98ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
10 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )
1211elpwid 4020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  C_  w )
14 filss 20089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  w  C_  ( X  X.  X )  /\  v  C_  w ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
1615ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  -> 
( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
19 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
21 filin 20090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
2322ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
24 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
26 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  F )
271metustid 20798 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
29 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  v )
3028, 29sstrd 3514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
31 elfg 20107 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. u  e.  F  u 
C_  v ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. u  e.  F  u  C_  v
) )
3332simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
342, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
3530, 34r19.29a 3003 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v
)
368ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
38 ssfg 20108 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4140, 26sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4232simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
432, 42sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
45 cnvss 5173 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  `' ( X  X.  X ) )
46 cnvxp 5422 . . . . . . . . 9  |-  `' ( X  X.  X )  =  ( X  X.  X )
4745, 46syl6sseq 3550 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
4844, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
491metustsym 20800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  `' u  =  u )
5025, 26, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  =  u )
51 cnvss 5173 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  v  ->  `' u  C_  `' v )
5251adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  C_  `' v )
5350, 52eqsstr3d 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  `' v )
54 filss 20089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  `' v  C_  ( X  X.  X
)  /\  u  C_  `' v ) )  ->  `' v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
5536, 41, 48, 53, 54syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
5655, 34r19.29a 3003 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
57 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  X  =/=  (/) )
581metustexhalf 20802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  u  e.  F )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
5957, 25, 26, 58syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
60 r19.41v 3014 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  <->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  u  /\  u  C_  v ) )
61 sstr 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  -> 
( w  o.  w
)  C_  v )
6261reximi 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6360, 62sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6459, 29, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
6564, 34r19.29a 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
66 ssrexv 3565 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( ( X  X.  X ) filGen F )  ->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  v  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6739, 65, 66sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
6835, 56, 673jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6917, 23, 683jca 1176 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
7069ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
71 elfvex 5891 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
7271adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  X  e.  _V )
73 isust 20441 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  <->  ( ( ( X  X.  X ) filGen F ) 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
755, 7, 70, 74mpbir3and 1179 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   RR+crp 11216   [,)cico 11527  PsMetcpsmet 18173   fBascfbas 18177   filGencfg 18178   Filcfil 20081  UnifOncust 20437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-psmet 18182  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-fil 20082  df-ust 20438
This theorem is referenced by:  cfilucfil  20808  metuust  20810  metucn  20827
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