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Theorem metuel2 18562
Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metuel2.u  |-  U  =  (metUnif `  D )
Assertion
Ref Expression
metuel2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( V  e.  U  <->  ( V  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, d,
y, D    V, d, x, y    X, d, x, y
Allowed substitution hints:    U( x, y, d)

Proof of Theorem metuel2
Dummy variables  a  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuel2.u . . . 4  |-  U  =  (metUnif `  D )
21eleq2i 2468 . . 3  |-  ( V  e.  U  <->  V  e.  (metUnif `  D ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( V  e.  U  <->  V  e.  (metUnif `  D ) ) )
4 metuel 18561 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( V  e.  (metUnif `  D )  <->  ( V  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V
) ) )
5 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
6 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) d ) )
76imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
87cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
98elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
105, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
1110anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  /\  w  C_  V )  <->  ( E. d  e.  RR+  w  =  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  /\  w  C_  V ) )
12 r19.41v 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( E. d  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
)  <->  ( E. d  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
) )
1311, 12bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  /\  w  C_  V )  <->  E. d  e.  RR+  ( w  =  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  /\  w  C_  V ) )
1413exbii 1589 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )  /\  w  C_  V )  <->  E. w E. d  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
) )
15 df-rex 2672 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V  <->  E. w ( w  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )  /\  w  C_  V ) )
16 rexcom4 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  RR+  E. w
( w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
)  <->  E. w E. d  e.  RR+  ( w  =  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  /\  w  C_  V ) )
1714, 15, 163bitr4i 269 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V  <->  E. d  e.  RR+  E. w
( w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
) )
18 cnvexg 5364 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  `' D  e.  _V )
19 imaexg 5176 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' D  e.  _V  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  _V )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e. 
_V )
21 sseq1 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  ->  (
w  C_  V  <->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  C_  V ) )
2221ceqsexgv 3028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  _V  ->  ( E. w ( w  =  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  /\  w  C_  V )  <->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  C_  V ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. w ( w  =  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  /\  w  C_  V )  <->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  C_  V ) )
2423rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. d  e.  RR+  E. w
( w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
)  <->  E. d  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  V ) )
2524adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( E. d  e.  RR+  E. w
( w  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  /\  w  C_  V
)  <->  E. d  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  V ) )
2617, 25syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( E. w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V  <->  E. d  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  V ) )
27 cnvimass 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  dom  D
28 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
29 psmetf 18290 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
30 fdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
3227, 31syl5sseq 3356 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  ( X  X.  X ) )
33 ssrel2 4925 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  C_  V  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  V
) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  C_  V  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  V
) ) )
35 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
37 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
3835, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X ) )
3938biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( D `  <. x ,  y >. )  e.  ( 0 [,) d
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X )  /\  ( D `  <. x ,  y >.
)  e.  ( 0 [,) d ) ) ) )
40 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
41 psmetcl 18291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
4240, 35, 36, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
4342biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( 0  <_  (
x D y )  /\  ( x D y )  <  d
)  <->  ( ( x D y )  e. 
RR*  /\  ( 0  <_  ( x D y )  /\  (
x D y )  <  d ) ) ) )
44 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x D y )  /\  ( x D y )  < 
d )  <->  ( (
x D y )  e.  RR*  /\  (
0  <_  ( x D y )  /\  ( x D y )  <  d ) ) )
4543, 44syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( 0  <_  (
x D y )  /\  ( x D y )  <  d
)  <->  ( ( x D y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x D y )  /\  ( x D y )  <  d
) ) )
46 psmetge0 18296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( x D y ) )
4746biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  <  d  <->  ( 0  <_  ( x D y )  /\  (
x D y )  <  d ) ) )
4840, 35, 36, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  <  d  <->  ( 0  <_  ( x D y )  /\  (
x D y )  <  d ) ) )
49 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
51 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  d  e.  RR+ )
5251rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  d  e.  RR* )
53 elico1 10915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  d  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  e.  ( 0 [,) d )  <->  ( (
x D y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x D y )  /\  ( x D y )  < 
d ) ) )
5450, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  e.  ( 0 [,) d )  <->  ( (
x D y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x D y )  /\  ( x D y )  < 
d ) ) )
5545, 48, 543bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  <  d  <->  ( x D y )  e.  ( 0 [,) d
) ) )
56 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x D y )  =  ( D `  <. x ,  y >. )
5756eleq1i 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x D y )  e.  ( 0 [,) d )  <->  ( D `  <. x ,  y
>. )  e.  (
0 [,) d ) )
5855, 57syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  <  d  <->  ( D `  <. x ,  y
>. )  e.  (
0 [,) d ) ) )
59 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
60 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X )  /\  ( D `  <. x ,  y >.
)  e.  ( 0 [,) d ) ) ) )
6129, 59, 603syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X )  /\  ( D `  <. x ,  y >. )  e.  ( 0 [,) d ) ) ) )
6240, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D "
( 0 [,) d
) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X )  /\  ( D `  <. x ,  y >.
)  e.  ( 0 [,) d ) ) ) )
6339, 58, 623bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  <  d  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
6463anasss 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  <  d  <->  <.
x ,  y >.  e.  ( `' D "
( 0 [,) d
) ) ) )
65 df-br 4173 . . . . . . . . . 10  |-  ( x V y  <->  <. x ,  y >.  e.  V
)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x V y  <->  <. x ,  y >.  e.  V ) )
6764, 66imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X ) )  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  V ) ) )
68672ralbidva 2706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  <  d  ->  x V y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( <. x ,  y
>.  e.  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  V
) ) )
6934, 68bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  C_  V  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x D y )  <  d  ->  x V y ) ) )
7069rexbidva 2683 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( E. d  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) 
C_  V  <->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y ) ) )
7126, 70bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  V  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( E. w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V  <->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x D y )  <  d  ->  x V y ) ) )
7271pm5.32da 623 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ( V  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V
)  <->  ( V  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y ) ) ) )
7372adantl 453 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( V  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) w  C_  V
)  <->  ( V  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y ) ) ) )
743, 4, 733bitrd 271 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( V  e.  U  <->  ( V  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  x V
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   RR+crp 10568   [,)cico 10874  PsMetcpsmet 16640  metUnifcmetu 16648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-psmet 16649  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-metu 16657
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