Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metucnOLD Structured version   Unicode version

Theorem metucnOLD 20854
 Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 20809. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
metucnOLD.u metUnifOLD
metucnOLD.v metUnifOLD
metucnOLD.x
metucnOLD.y
metucnOLD.c
metucnOLD.d
Assertion
Ref Expression
metucnOLD Cnu
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem metucnOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucnOLD.u . . . . . 6 metUnifOLD
2 metucnOLD.c . . . . . . 7
3 metuvalOLD 20815 . . . . . . 7 metUnifOLD
42, 3syl 16 . . . . . 6 metUnifOLD
51, 4syl5eq 2520 . . . . 5
6 metucnOLD.v . . . . . 6 metUnifOLD
7 metucnOLD.d . . . . . . 7
8 metuvalOLD 20815 . . . . . . 7 metUnifOLD
97, 8syl 16 . . . . . 6 metUnifOLD
106, 9syl5eq 2520 . . . . 5
115, 10oveq12d 6302 . . . 4 Cnu Cnu
1211eleq2d 2537 . . 3 Cnu Cnu
13 eqid 2467 . . . 4
14 eqid 2467 . . . 4
15 metucnOLD.x . . . . 5
16 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
1716imaeq2d 5337 . . . . . . . 8
1817cbvmptv 4538 . . . . . . 7
1918rneqi 5229 . . . . . 6
2019metustOLD 20833 . . . . 5 UnifOn
2115, 2, 20syl2anc 661 . . . 4 UnifOn
22 metucnOLD.y . . . . 5
23 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
2423imaeq2d 5337 . . . . . . . 8
2524cbvmptv 4538 . . . . . . 7
2625rneqi 5229 . . . . . 6
2726metustOLD 20833 . . . . 5 UnifOn
2822, 7, 27syl2anc 661 . . . 4 UnifOn
29 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
3029imaeq2d 5337 . . . . . . . 8
3130cbvmptv 4538 . . . . . . 7
3231rneqi 5229 . . . . . 6
3332metustfbasOLD 20831 . . . . 5
3415, 2, 33syl2anc 661 . . . 4
35 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
3635imaeq2d 5337 . . . . . . . 8
3736cbvmptv 4538 . . . . . . 7
3837rneqi 5229 . . . . . 6
3938metustfbasOLD 20831 . . . . 5
4022, 7, 39syl2anc 661 . . . 4
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 20545 . . 3 Cnu
4212, 41bitrd 253 . 2 Cnu
43 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
44 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13
4544imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . 12
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
4746rspcev 3214 . . . . . . . . . 10
4843, 47mpan2 671 . . . . . . . . 9
4948adantl 466 . . . . . . . 8
5038metustelOLD 20817 . . . . . . . . . 10
517, 50syl 16 . . . . . . . . 9
5251adantr 465 . . . . . . . 8
5349, 52mpbird 232 . . . . . . 7
5426metustelOLD 20817 . . . . . . . . 9
557, 54syl 16 . . . . . . . 8
5655biimpa 484 . . . . . . 7
57 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
5857breqd 4458 . . . . . . . . . 10
5958imbi2d 316 . . . . . . . . 9
6059ralbidv 2903 . . . . . . . 8
6160rexralbidv 2981 . . . . . . 7
6253, 56, 61ralxfrd 4661 . . . . . 6
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
64 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . 14
6564imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . . 13
6665eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
6766rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11
6863, 67mpan2 671 . . . . . . . . . 10
6968adantl 466 . . . . . . . . 9
7032metustelOLD 20817 . . . . . . . . . . 11
712, 70syl 16 . . . . . . . . . 10
7271adantr 465 . . . . . . . . 9
7369, 72mpbird 232 . . . . . . . 8
7419metustelOLD 20817 . . . . . . . . . 10
752, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7675biimpa 484 . . . . . . . 8
77 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
7877breqd 4458 . . . . . . . . . 10
7978imbi1d 317 . . . . . . . . 9
80792ralbidv 2908 . . . . . . . 8
8173, 76, 80rexxfrd 4662 . . . . . . 7
8281ralbidv 2903 . . . . . 6
8362, 82bitrd 253 . . . . 5
8483adantr 465 . . . 4
852ad4antr 731 . . . . . . . . . 10
86 xmetpsmet 20614 . . . . . . . . . 10 PsMet
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9 PsMet
88 simplr 754 . . . . . . . . 9
89 simprr 756 . . . . . . . . 9
90 simprl 755 . . . . . . . . 9
91 elbl4 20842 . . . . . . . . . 10 PsMet
92 rpxr 11227 . . . . . . . . . . 11
93 elbl3ps 20657 . . . . . . . . . . 11 PsMet
9492, 93sylanl2 651 . . . . . . . . . 10 PsMet
9591, 94bitr3d 255 . . . . . . . . 9 PsMet
9687, 88, 89, 90, 95syl22anc 1229 . . . . . . . 8
977ad4antr 731 . . . . . . . . . 10
98 xmetpsmet 20614 . . . . . . . . . 10 PsMet
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9 PsMet
100 simpllr 758 . . . . . . . . 9
101 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10
102101, 89ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9
103101, 90ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9
104 elbl4 20842 . . . . . . . . . 10 PsMet
105 rpxr 11227 . . . . . . . . . . 11
106 elbl3ps 20657 . . . . . . . . . . 11 PsMet
107105, 106sylanl2 651 . . . . . . . . . 10 PsMet
108104, 107bitr3d 255 . . . . . . . . 9 PsMet
10999, 100, 102, 103, 108syl22anc 1229 . . . . . . . 8
11096, 109imbi12d 320 . . . . . . 7
1111102ralbidva 2906 . . . . . 6
112111rexbidva 2970 . . . . 5
113112ralbidva 2900 . . . 4
11484, 113bitrd 253 . . 3
115114pm5.32da 641 . 2
11642, 115bitrd 253 1 Cnu
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  c0 3785   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998   crn 5000  cima 5002  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284  cc0 9492  cxr 9627   clt 9628  crp 11220  cico 11531  PsMetcpsmet 18201  cxmt 18202  cbl 18204  cfbas 18205  cfg 18206  metUnifOLDcmetuOLD 18208  UnifOncust 20465   Cnucucn 20541 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-metuOLD 18217  df-fil 20110  df-ust 20466  df-ucn 20542 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator