Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metucnOLD Unicode version

Theorem metucnOLD 18571
 Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 18526. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
metucnOLD.u metUnifOLD
metucnOLD.v metUnifOLD
metucnOLD.x
metucnOLD.y
metucnOLD.c
metucnOLD.d
Assertion
Ref Expression
metucnOLD Cnu
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem metucnOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucnOLD.u . . . . . 6 metUnifOLD
2 metucnOLD.c . . . . . . 7
3 metuvalOLD 18532 . . . . . . 7 metUnifOLD
42, 3syl 16 . . . . . 6 metUnifOLD
51, 4syl5eq 2448 . . . . 5
6 metucnOLD.v . . . . . 6 metUnifOLD
7 metucnOLD.d . . . . . . 7
8 metuvalOLD 18532 . . . . . . 7 metUnifOLD
97, 8syl 16 . . . . . 6 metUnifOLD
106, 9syl5eq 2448 . . . . 5
115, 10oveq12d 6058 . . . 4 Cnu Cnu
1211eleq2d 2471 . . 3 Cnu Cnu
13 eqid 2404 . . . 4
14 eqid 2404 . . . 4
15 metucnOLD.x . . . . 5
16 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
1716imaeq2d 5162 . . . . . . . 8
1817cbvmptv 4260 . . . . . . 7
1918rneqi 5055 . . . . . 6
2019metustOLD 18550 . . . . 5 UnifOn
2115, 2, 20syl2anc 643 . . . 4 UnifOn
22 metucnOLD.y . . . . 5
23 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
2423imaeq2d 5162 . . . . . . . 8
2524cbvmptv 4260 . . . . . . 7
2625rneqi 5055 . . . . . 6
2726metustOLD 18550 . . . . 5 UnifOn
2822, 7, 27syl2anc 643 . . . 4 UnifOn
29 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
3029imaeq2d 5162 . . . . . . . 8
3130cbvmptv 4260 . . . . . . 7
3231rneqi 5055 . . . . . 6
3332metustfbasOLD 18548 . . . . 5
3415, 2, 33syl2anc 643 . . . 4
35 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
3635imaeq2d 5162 . . . . . . . 8
3736cbvmptv 4260 . . . . . . 7
3837rneqi 5055 . . . . . 6
3938metustfbasOLD 18548 . . . . 5
4022, 7, 39syl2anc 643 . . . 4
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 18262 . . 3 Cnu
4212, 41bitrd 245 . 2 Cnu
43 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
44 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13
4544imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . 12
4645eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11
4746rspcev 3012 . . . . . . . . . 10
4843, 47mpan2 653 . . . . . . . . 9
4948adantl 453 . . . . . . . 8
5038metustelOLD 18534 . . . . . . . . . 10
517, 50syl 16 . . . . . . . . 9
5251adantr 452 . . . . . . . 8
5349, 52mpbird 224 . . . . . . 7
5426metustelOLD 18534 . . . . . . . . 9
557, 54syl 16 . . . . . . . 8
5655biimpa 471 . . . . . . 7
57 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
5857breqd 4183 . . . . . . . . . 10
5958imbi2d 308 . . . . . . . . 9
6059ralbidv 2686 . . . . . . . 8
6160rexralbidv 2710 . . . . . . 7
6253, 56, 61ralxfrd 4696 . . . . . 6
63 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
64 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14
6564imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13
6665eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12
6766rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11
6863, 67mpan2 653 . . . . . . . . . 10
6968adantl 453 . . . . . . . . 9
7032metustelOLD 18534 . . . . . . . . . . 11
712, 70syl 16 . . . . . . . . . 10
7271adantr 452 . . . . . . . . 9
7369, 72mpbird 224 . . . . . . . 8
7419metustelOLD 18534 . . . . . . . . . 10
752, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7675biimpa 471 . . . . . . . 8
77 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
7877breqd 4183 . . . . . . . . . 10
7978imbi1d 309 . . . . . . . . 9
80792ralbidv 2708 . . . . . . . 8
8173, 76, 80rexxfrd 4697 . . . . . . 7
8281ralbidv 2686 . . . . . 6
8362, 82bitrd 245 . . . . 5
8483adantr 452 . . . 4
852ad4antr 713 . . . . . . . . . 10
86 xmetpsmet 18331 . . . . . . . . . 10 PsMet
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9 PsMet
88 simplr 732 . . . . . . . . 9
89 simprr 734 . . . . . . . . 9
90 simprl 733 . . . . . . . . 9
91 elbl4 18559 . . . . . . . . . 10 PsMet
92 rpxr 10575 . . . . . . . . . . 11
93 elbl3ps 18374 . . . . . . . . . . 11 PsMet
9492, 93sylanl2 633 . . . . . . . . . 10 PsMet
9591, 94bitr3d 247 . . . . . . . . 9 PsMet
9687, 88, 89, 90, 95syl22anc 1185 . . . . . . . 8
977ad4antr 713 . . . . . . . . . 10
98 xmetpsmet 18331 . . . . . . . . . 10 PsMet
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9 PsMet
100 simpllr 736 . . . . . . . . 9
101 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10
102101, 89ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9
103101, 90ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9
104 elbl4 18559 . . . . . . . . . 10 PsMet
105 rpxr 10575 . . . . . . . . . . 11
106 elbl3ps 18374 . . . . . . . . . . 11 PsMet
107105, 106sylanl2 633 . . . . . . . . . 10 PsMet
108104, 107bitr3d 247 . . . . . . . . 9 PsMet
10999, 100, 102, 103, 108syl22anc 1185 . . . . . . . 8
11096, 109imbi12d 312 . . . . . . 7
1111102ralbidva 2706 . . . . . 6
112111rexbidva 2683 . . . . 5
113112ralbidva 2682 . . . 4
11484, 113bitrd 245 . . 3
115114pm5.32da 623 . 2
11642, 115bitrd 245 1 Cnu
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  c0 3588   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cxp 4835  ccnv 4836   crn 4838  cima 4840  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  cxr 9075   clt 9076  crp 10568  cico 10874  PsMetcpsmet 16640  cxmt 16641  cbl 16643  cfbas 16644  cfg 16645  metUnifOLDcmetuOLD 16647  UnifOncust 18182   Cnucucn 18258 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-metuOLD 16656  df-fil 17831  df-ust 18183  df-ucn 18259
 Copyright terms: Public domain W3C validator