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Theorem metucnOLD 18571
Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 18526. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
metucnOLD.u  |-  U  =  (metUnifOLD
`  C )
metucnOLD.v  |-  V  =  (metUnifOLD
`  D )
metucnOLD.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
metucnOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
metucnOLD.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
metucnOLD.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
metucnOLD  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, x, y, C    D, c,
d, x, y    F, c, d, x, y    x, U, y    x, V    X, c, d, x, y    Y, c, d, x, y    ph, c,
d, x, y
Allowed substitution hints:    U( c, d)    V( y, c, d)

Proof of Theorem metucnOLD
Dummy variables  a 
e  u  v  b  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucnOLD.u . . . . . 6  |-  U  =  (metUnifOLD
`  C )
2 metucnOLD.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
3 metuvalOLD 18532 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (metUnifOLD `  C
)  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnifOLD
`  C )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
51, 4syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
6 metucnOLD.v . . . . . 6  |-  V  =  (metUnifOLD
`  D )
7 metucnOLD.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
8 metuvalOLD 18532 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (metUnifOLD `  D
)  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnifOLD
`  D )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )
106, 9syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
115, 10oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U Cnu V )  =  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) )
1211eleq2d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) ) )
13 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )
14 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )
15 metucnOLD.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
16 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) c ) )
1716imaeq2d 5162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
1817cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
1918rneqi 5055 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
2019metustOLD 18550 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )  e.  (UnifOn `  X
) )
2115, 2, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  e.  (UnifOn `  X ) )
22 metucnOLD.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
23 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) d ) )
2423imaeq2d 5162 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
2524cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2625rneqi 5055 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2726metustOLD 18550 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( Y  X.  Y
) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y
) )
2822, 7, 27syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y ) )
29 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) e ) )
3029imaeq2d 5162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
3130cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3231rneqi 5055 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3332metustfbasOLD 18548 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
3415, 2, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
35 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) f ) )
3635imaeq2d 5162 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
3736cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3837rneqi 5055 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3938metustfbasOLD 18548 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
4022, 7, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) ) )
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 18262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
4212, 41bitrd 245 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
43 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) )
44 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  (
0 [,) f )  =  ( 0 [,) d ) )
4544imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
4645eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
4746rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
4843, 47mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
4948adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
5038metustelOLD 18534 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
517, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d
) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5349, 52mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )
5426metustelOLD 18534 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
v  e.  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
557, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
5655biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
57 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
5857breqd 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( ( F `  x )
v ( F `  y )  <->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) )
5958imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <-> 
( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6059ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6160rexralbidv 2710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6253, 56, 61ralxfrd 4696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
63 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) )
64 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  c  ->  (
0 [,) e )  =  ( 0 [,) c ) )
6564imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
6665eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  c  ->  (
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  <-> 
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
6766rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
6863, 67mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR+  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
6968adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
7032metustelOLD 18534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( `' C "
( 0 [,) c
) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
712, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c
) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7271adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7369, 72mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )
7419metustelOLD 18534 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
752, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
7675biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  ->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
77 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
7877breqd 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( x u y  <->  x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y ) )
7978imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
80792ralbidv 2708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
8173, 76, 80rexxfrd 4697 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8281ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
8362, 82bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8483adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
852ad4antr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
86 xmetpsmet 18331 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  C  e.  (PsMet `  X )
)
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  (PsMet `  X
) )
88 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
c  e.  RR+ )
89 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
90 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
91 elbl4 18559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
x ( `' C " ( 0 [,) c
) ) y ) )
92 rpxr 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
93 elbl3ps 18374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR* )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9492, 93sylanl2 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9591, 94bitr3d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  <->  ( x C y )  < 
c ) )
9687, 88, 89, 90, 95syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  <->  ( x C y )  <  c
) )
977ad4antr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
98 xmetpsmet 18331 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  D  e.  (PsMet `  Y )
)
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  (PsMet `  Y
) )
100 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
d  e.  RR+ )
101 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
102101, 89ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
103101, 90ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
104 elbl4 18559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) )
105 rpxr 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e. 
RR* )
106 elbl3ps 18374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR* )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
107105, 106sylanl2 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
108104, 107bitr3d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
10999, 100, 102, 103, 108syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
11096, 109imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  ( (
x C y )  <  c  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  <  d ) ) )
1111102ralbidva 2706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
112111rexbidva 2683 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
113112ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
11484, 113bitrd 245 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
115114pm5.32da 623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
11642, 115bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076   RR+crp 10568   [,)cico 10874  PsMetcpsmet 16640   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   fBascfbas 16644   filGencfg 16645  metUnifOLDcmetuOLD 16647  UnifOncust 18182   Cnucucn 18258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-metuOLD 16656  df-fil 17831  df-ust 18183  df-ucn 18259
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