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Theorem metucn 21586
Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 21558. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
metucn.u  |-  U  =  (metUnif `  C )
metucn.v  |-  V  =  (metUnif `  D )
metucn.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
metucn.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
metucn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  (PsMet `  X ) )
metucn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
metucn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, x, y, C    D, c,
d, x, y    F, c, d, x, y    x, U, y    x, V    X, c, d, x, y    Y, c, d, x, y    ph, c,
d, x, y
Allowed substitution hints:    U( c, d)    V( y, c, d)

Proof of Theorem metucn
Dummy variables  a 
e  u  v  b  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucn.u . . . . . 6  |-  U  =  (metUnif `  C )
2 metucn.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  (PsMet `  X ) )
3 metuval 21564 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  (metUnif `  C
)  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnif `  C )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
51, 4syl5eq 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
6 metucn.v . . . . . 6  |-  V  =  (metUnif `  D )
7 metucn.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  Y ) )
8 metuval 21564 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  (metUnif `  D
)  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnif `  D )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )
106, 9syl5eq 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
115, 10oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U Cnu V )  =  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) )
1211eleq2d 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) ) )
13 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )
14 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )
15 metucn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
16 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) c ) )
1716imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
1817cbvmptv 4495 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
1918rneqi 5061 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
2019metust 21573 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  e.  (UnifOn `  X ) )
2115, 2, 20syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  e.  (UnifOn `  X ) )
22 metucn.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
23 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) d ) )
2423imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
2524cbvmptv 4495 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2625rneqi 5061 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2726metust 21573 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  Y )
)  ->  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y ) )
2822, 7, 27syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y ) )
29 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) e ) )
3029imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
3130cbvmptv 4495 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3231rneqi 5061 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3332metustfbas 21572 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
3415, 2, 33syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
35 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) f ) )
3635imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
3736cbvmptv 4495 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3837rneqi 5061 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3938metustfbas 21572 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  Y )
)  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
4022, 7, 39syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) ) )
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 21294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
4212, 41bitrd 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
43 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) )
44 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  (
0 [,) f )  =  ( 0 [,) d ) )
4544imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
4645eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
4746rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
4843, 47mpan2 677 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
4948adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
5038metustel 21565 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
517, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d
) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5251adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5349, 52mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )
5426metustel 21565 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  ( v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
557, 54syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
5756breqd 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( ( F `  x )
v ( F `  y )  <->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) )
5857imbi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <-> 
( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
5958ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6059rexralbidv 2909 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6153, 55, 60ralxfr2d 4616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
62 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) )
63 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  c  ->  (
0 [,) e )  =  ( 0 [,) c ) )
6463imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
6564eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  c  ->  (
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  <-> 
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
6665rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
6762, 66mpan2 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR+  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
6867adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
6932metustel 21565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
702, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c
) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7170adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7268, 71mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )
7319metustel 21565 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
742, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
75 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
7675breqd 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( x u y  <->  x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y ) )
7776imbi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
78772ralbidv 2832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
7972, 74, 78rexxfr2d 4617 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8079ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
8161, 80bitrd 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8281adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
832ad4antr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  (PsMet `  X
) )
84 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
c  e.  RR+ )
85 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
86 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
87 elbl4 21578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
x ( `' C " ( 0 [,) c
) ) y ) )
88 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
89 elbl3ps 21406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR* )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9088, 89sylanl2 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9187, 90bitr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  <->  ( x C y )  < 
c ) )
9283, 84, 85, 86, 91syl22anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  <->  ( x C y )  <  c
) )
937ad4antr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  (PsMet `  Y
) )
94 simpllr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
d  e.  RR+ )
95 simp-4r 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
9695, 85ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
9795, 86ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
98 elbl4 21578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) )
99 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e. 
RR* )
100 elbl3ps 21406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR* )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
10199, 100sylanl2 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
10298, 101bitr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
10393, 94, 96, 97, 102syl22anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
10492, 103imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  ( (
x C y )  <  c  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  <  d ) ) )
1051042ralbidva 2830 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
106105rexbidva 2898 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
107106ralbidva 2824 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
10882, 107bitrd 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
109108pm5.32da 647 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
11042, 109bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   RR*cxr 9674    < clt 9675   RR+crp 11302   [,)cico 11637  PsMetcpsmet 18954   ballcbl 18957   fBascfbas 18958   filGencfg 18959  metUnifcmetu 18961  UnifOncust 21214   Cnucucn 21290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18962  df-bl 18965  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-metu 18969  df-fil 20861  df-ust 21215  df-ucn 21291
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