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Theorem metucn 21517
Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 21489. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
metucn.u  |-  U  =  (metUnif `  C )
metucn.v  |-  V  =  (metUnif `  D )
metucn.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
metucn.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
metucn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  (PsMet `  X ) )
metucn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
metucn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, x, y, C    D, c,
d, x, y    F, c, d, x, y    x, U, y    x, V    X, c, d, x, y    Y, c, d, x, y    ph, c,
d, x, y
Allowed substitution hints:    U( c, d)    V( y, c, d)

Proof of Theorem metucn
Dummy variables  a 
e  u  v  b  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucn.u . . . . . 6  |-  U  =  (metUnif `  C )
2 metucn.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  (PsMet `  X ) )
3 metuval 21495 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  (metUnif `  C
)  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnif `  C )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
51, 4syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) ) )
6 metucn.v . . . . . 6  |-  V  =  (metUnif `  D )
7 metucn.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  Y ) )
8 metuval 21495 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  (metUnif `  D
)  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (metUnif `  D )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )
106, 9syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) ) )
115, 10oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U Cnu V )  =  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) )
1211eleq2d 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) ) ) )
13 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ( X  X.  X )
filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )  =  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )
14 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ( Y  X.  Y )
filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )  =  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )
15 metucn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
16 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) c ) )
1716imaeq2d 5188 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
1817cbvmptv 4518 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
1918rneqi 5081 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
c  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
2019metust 21504 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  e.  (UnifOn `  X ) )
2115, 2, 20syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) )  e.  (UnifOn `  X ) )
22 metucn.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
23 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) d ) )
2423imaeq2d 5188 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
2524cbvmptv 4518 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2625rneqi 5081 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
d  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
2726metust 21504 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  Y )
)  ->  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y ) )
2822, 7, 27syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) )  e.  (UnifOn `  Y ) )
29 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) e ) )
3029imaeq2d 5188 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( `' C " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
3130cbvmptv 4518 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ( e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3231rneqi 5081 . . . . . 6  |-  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  =  ran  (
e  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
3332metustfbas 21503 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  C  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
3415, 2, 33syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) )  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
35 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
0 [,) b )  =  ( 0 [,) f ) )
3635imaeq2d 5188 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  ( `' D " ( 0 [,) b ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
3736cbvmptv 4518 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ( f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3837rneqi 5081 . . . . . 6  |-  ran  (
b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  =  ran  (
f  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
3938metustfbas 21503 . . . . 5  |-  ( ( Y  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  Y )
)  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y
) ) )
4022, 7, 39syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) )  e.  ( fBas `  ( Y  X.  Y ) ) )
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 21225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( X  X.  X ) filGen ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) ) Cnu ( ( Y  X.  Y ) filGen ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
4212, 41bitrd 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) ) ) ) )
43 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) )
44 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  (
0 [,) f )  =  ( 0 [,) d ) )
4544imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )
4645eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
4746rspcev 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) d
) ) )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) )
4843, 47mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
4948adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d
) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f ) ) )
5038metustel 21496 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
517, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d
) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5251adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. f  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) f
) ) ) )
5349, 52mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) d ) )  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) )
5426metustel 21496 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  (PsMet `  Y
)  ->  ( v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
557, 54syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) )  <->  E. d  e.  RR+  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ) )
56 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )
5756breqd 4437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( ( F `  x )
v ( F `  y )  <->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) )
5857imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <-> 
( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
5958ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6059rexralbidv 2954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  =  ( `' D " ( 0 [,) d ) ) )  ->  ( E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
6153, 55, 60ralxfr2d 4638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
62 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) )
63 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  c  ->  (
0 [,) e )  =  ( 0 [,) c ) )
6463imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  c  ->  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )
6564eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  c  ->  (
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) )  <-> 
( `' C "
( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
6665rspcev 3188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) c
) ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) )
6762, 66mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR+  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
6867adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c
) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e ) ) )
6932metustel 21496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
702, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c
) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7170adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. e  e.  RR+  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  =  ( `' C " ( 0 [,) e
) ) ) )
7268, 71mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( `' C " ( 0 [,) c ) )  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) )
7319metustel 21496 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
742, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) )  <->  E. c  e.  RR+  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) ) )
75 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )
7675breqd 4437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( x u y  <->  x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y ) )
7776imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
78772ralbidv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  ( `' C " ( 0 [,) c ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
7972, 74, 78rexxfr2d 4639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8079ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
8161, 80bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) ) )
8281adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) ) ) )
832ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  (PsMet `  X
) )
84 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
c  e.  RR+ )
85 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
86 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
87 elbl4 21509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
x ( `' C " ( 0 [,) c
) ) y ) )
88 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
89 elbl3ps 21337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR* )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9088, 89sylanl2 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( y ( ball `  C ) c )  <-> 
( x C y )  <  c ) )
9187, 90bitr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (PsMet `  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  <->  ( x C y )  < 
c ) )
9283, 84, 85, 86, 91syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  <->  ( x C y )  <  c
) )
937ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  (PsMet `  Y
) )
94 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
d  e.  RR+ )
95 simp-4r 775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
9695, 85ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
9795, 86ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
98 elbl4 21509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) ) )
99 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e. 
RR* )
100 elbl3ps 21337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR* )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
10199, 100sylanl2 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( ( F `  y ) ( ball `  D ) d )  <-> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) )
10298, 101bitr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  (
( F `  y
)  e.  Y  /\  ( F `  x )  e.  Y ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
10393, 94, 96, 97, 102syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <  d
) )
10492, 103imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  ( (
x C y )  <  c  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  <  d ) ) )
1051042ralbidva 2874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( `' C "
( 0 [,) c
) ) y  -> 
( F `  x
) ( `' D " ( 0 [,) d
) ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
106105rexbidva 2943 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  d  e.  RR+ )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
107106ralbidva 2868 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( `' C " ( 0 [,) c ) ) y  ->  ( F `  x ) ( `' D " ( 0 [,) d ) ) ( F `  y
) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  <  c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <  d ) ) )
10882, 107bitrd 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b ) ) ) E. u  e. 
ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a
) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x u y  -> 
( F `  x
) v ( F `
 y ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) )
109108pm5.32da 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. v  e.  ran  ( b  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) b
) ) ) E. u  e.  ran  (
a  e.  RR+  |->  ( `' C " ( 0 [,) a ) ) ) A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x u y  ->  ( F `  x ) v ( F `  y ) ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
11042, 109bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. d  e.  RR+  E. c  e.  RR+  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x C y )  < 
c  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  < 
d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   (/)c0 3767   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   ran crn 4855   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   RR*cxr 9673    < clt 9674   RR+crp 11302   [,)cico 11637  PsMetcpsmet 18889   ballcbl 18892   fBascfbas 18893   filGencfg 18894  metUnifcmetu 18896  UnifOncust 21145   Cnucucn 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18897  df-bl 18900  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-metu 18904  df-fil 20792  df-ust 21146  df-ucn 21222
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