Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metucn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metucn 21586
 Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 21558. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
metucn.u metUnif
metucn.v metUnif
metucn.x
metucn.y
metucn.c PsMet
metucn.d PsMet
Assertion
Ref Expression
metucn Cnu
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem metucn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucn.u . . . . . 6 metUnif
2 metucn.c . . . . . . 7 PsMet
3 metuval 21564 . . . . . . 7 PsMet metUnif
42, 3syl 17 . . . . . 6 metUnif
51, 4syl5eq 2497 . . . . 5
6 metucn.v . . . . . 6 metUnif
7 metucn.d . . . . . . 7 PsMet
8 metuval 21564 . . . . . . 7 PsMet metUnif
97, 8syl 17 . . . . . 6 metUnif
106, 9syl5eq 2497 . . . . 5
115, 10oveq12d 6308 . . . 4 Cnu Cnu
1211eleq2d 2514 . . 3 Cnu Cnu
13 eqid 2451 . . . 4
14 eqid 2451 . . . 4
15 metucn.x . . . . 5
16 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
1716imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
1817cbvmptv 4495 . . . . . . 7
1918rneqi 5061 . . . . . 6
2019metust 21573 . . . . 5 PsMet UnifOn
2115, 2, 20syl2anc 667 . . . 4 UnifOn
22 metucn.y . . . . 5
23 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
2423imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
2524cbvmptv 4495 . . . . . . 7
2625rneqi 5061 . . . . . 6
2726metust 21573 . . . . 5 PsMet UnifOn
2822, 7, 27syl2anc 667 . . . 4 UnifOn
29 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
3029imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
3130cbvmptv 4495 . . . . . . 7
3231rneqi 5061 . . . . . 6
3332metustfbas 21572 . . . . 5 PsMet
3415, 2, 33syl2anc 667 . . . 4
35 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
3635imaeq2d 5168 . . . . . . . 8
3736cbvmptv 4495 . . . . . . 7
3837rneqi 5061 . . . . . 6
3938metustfbas 21572 . . . . 5 PsMet
4022, 7, 39syl2anc 667 . . . 4
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 21294 . . 3 Cnu
4212, 41bitrd 257 . 2 Cnu
43 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
44 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13
4544imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . 12
4645eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11
4746rspcev 3150 . . . . . . . . . 10
4843, 47mpan2 677 . . . . . . . . 9
4948adantl 468 . . . . . . . 8
5038metustel 21565 . . . . . . . . . 10 PsMet
517, 50syl 17 . . . . . . . . 9
5251adantr 467 . . . . . . . 8
5349, 52mpbird 236 . . . . . . 7
5426metustel 21565 . . . . . . . 8 PsMet
557, 54syl 17 . . . . . . 7
56 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
5756breqd 4413 . . . . . . . . . 10
5857imbi2d 318 . . . . . . . . 9
5958ralbidv 2827 . . . . . . . 8
6059rexralbidv 2909 . . . . . . 7
6153, 55, 60ralxfr2d 4616 . . . . . 6
62 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
63 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14
6463imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . 13
6564eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12
6665rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11
6762, 66mpan2 677 . . . . . . . . . 10
6867adantl 468 . . . . . . . . 9
6932metustel 21565 . . . . . . . . . . 11 PsMet
702, 69syl 17 . . . . . . . . . 10
7170adantr 467 . . . . . . . . 9
7268, 71mpbird 236 . . . . . . . 8
7319metustel 21565 . . . . . . . . 9 PsMet
742, 73syl 17 . . . . . . . 8
75 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
7675breqd 4413 . . . . . . . . . 10
7776imbi1d 319 . . . . . . . . 9
78772ralbidv 2832 . . . . . . . 8
7972, 74, 78rexxfr2d 4617 . . . . . . 7
8079ralbidv 2827 . . . . . 6
8161, 80bitrd 257 . . . . 5
8281adantr 467 . . . 4
832ad4antr 738 . . . . . . . . 9 PsMet
84 simplr 762 . . . . . . . . 9
85 simprr 766 . . . . . . . . 9
86 simprl 764 . . . . . . . . 9
87 elbl4 21578 . . . . . . . . . 10 PsMet
88 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11
89 elbl3ps 21406 . . . . . . . . . . 11 PsMet
9088, 89sylanl2 657 . . . . . . . . . 10 PsMet
9187, 90bitr3d 259 . . . . . . . . 9 PsMet
9283, 84, 85, 86, 91syl22anc 1269 . . . . . . . 8
937ad4antr 738 . . . . . . . . 9 PsMet
94 simpllr 769 . . . . . . . . 9
95 simp-4r 777 . . . . . . . . . 10
9695, 85ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9
9795, 86ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9
98 elbl4 21578 . . . . . . . . . 10 PsMet
99 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11
100 elbl3ps 21406 . . . . . . . . . . 11 PsMet
10199, 100sylanl2 657 . . . . . . . . . 10 PsMet
10298, 101bitr3d 259 . . . . . . . . 9 PsMet
10393, 94, 96, 97, 102syl22anc 1269 . . . . . . . 8
10492, 103imbi12d 322 . . . . . . 7
1051042ralbidva 2830 . . . . . 6
106105rexbidva 2898 . . . . 5
107106ralbidva 2824 . . . 4
10882, 107bitrd 257 . . 3
109108pm5.32da 647 . 2
11042, 109bitrd 257 1 Cnu
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  c0 3731   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   crn 4835  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  cxr 9674   clt 9675  crp 11302  cico 11637  PsMetcpsmet 18954  cbl 18957  cfbas 18958  cfg 18959  metUnifcmetu 18961  UnifOncust 21214   Cnucucn 21290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18962  df-bl 18965  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-metu 18969  df-fil 20861  df-ust 21215  df-ucn 21291 This theorem is referenced by:  qqhucn  28796  heicant  31975
 Copyright terms: Public domain W3C validator