Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mettrifi Unicode version

Theorem mettrifi 26353
Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mettrifi.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
mettrifi.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
mettrifi.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
Assertion
Ref Expression
mettrifi  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem mettrifi
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mettrifi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11021 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
65oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) ) )
7 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
87oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( M  -  1 ) ) )
98sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
106, 9breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
13 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
14 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
1514oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) ) )
16 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1716oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
n  -  1 ) ) )
1817sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
1915, 18breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
23 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
2423oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
25 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2726sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
2824, 27breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
31 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
32 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) )
3332oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) ) )
34 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3534oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
3635sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
3733, 36breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3938imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
40 0le0 10037 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
42 mettrifi.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
441, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
45 mettrifi.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
4645ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
47 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
4847eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  M )  e.  X
) )
4948rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  M )  e.  X ) )
5044, 46, 49sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  X )
51 met0 18326 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 M ) )  =  0 )
5242, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  =  0 )
53 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5554zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 9899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <  M )
57 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
59 fzn 11027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  < 
M  <->  ( M ... ( M  -  1
) )  =  (/) ) )
6054, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) ) )
6156, 60mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) )
6261sumeq1d 12450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
63 sum0 12470 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  0
6462, 63syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
6541, 52, 643brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
6665a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6766a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
68 peano2fzr 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
6968ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7069adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7170imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
72423ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
73503ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  M )  e.  X
)
74 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
75463ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X
) )
7877rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X ) )
7974, 75, 78sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  X
)
80 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8180eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  n )  e.  X
) )
8281cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  X  <->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
8375, 82sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
84703impia 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
85 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `
 n )  e.  X  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  n )  e.  X
) )
8683, 84, 85sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
87 mettri 18335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  M
)  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  ( (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8872, 73, 79, 86, 87syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
89 metcl 18315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9072, 73, 79, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
91 metcl 18315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
9272, 73, 86, 91syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
93 metcl 18315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9472, 86, 79, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9592, 94readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
96 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
9772adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
98 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
9984, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
100 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
102101sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
103453ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
104102, 103syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
105 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
106105adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
107 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
11074, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )
111110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
112 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
113112adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
114 eluzp1p1 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
116 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
117111, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
118 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) ) )
119108, 117, 118sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
121120eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  X  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
) )
122121rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
12383, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
124119, 123syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
125 metcl 18315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12697, 104, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12796, 126fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
128 letr 9123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_ 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
12990, 95, 127, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
13088, 129mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  e.  Fin )
132 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
133 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
1341333ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
135134zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  CC )
136 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
137 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
138135, 136, 137sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
139138oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... n ) )
140132, 139syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  C_  ( M ... n ) )
141140sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... n ) )
142141, 126syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
143131, 142fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14492, 143, 94leadd1d 9576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
145 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
146126recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
147 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
148147fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
14980, 148oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
150145, 146, 149fsumm1 12492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
151150breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
152144, 151bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
153 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
154135, 136, 153sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
155154oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( M ... n ) )
156155sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
157156breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158130, 152, 1573imtr4d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1591583expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
160159a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
16171, 160syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
162161expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
163162a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
16412, 21, 30, 39, 67, 163uzind4 10490 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
1651, 164mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1663, 165mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   sum_csu 12434   Metcme 16642
This theorem is referenced by:  geomcau  26355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651
  Copyright terms: Public domain W3C validator