Theorem mettri4 9091

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
mettri4	|- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Proof of Theorem mettri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xDy) = (ADy))
2		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (zDx) = (zDA))
3	2	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((zDx) + (zDy)) = ((zDA) + (zDy)))
4	1, 3	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (x = A -> ((xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) <-> (ADy) <_ ((zDA) + (zDy))))
5		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = B -> (ADy) = (ADB))
6		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (zDy) = (zDB))
7	6	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((zDA) + (zDy)) = ((zDA) + (zDB)))
8	5, 7	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (y = B -> ((ADy) <_ ((zDA) + (zDy)) <-> (ADB) <_ ((zDA) + (zDB))))
9		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDA) = (CDA))
10		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDB) = (CDB))
11	9, 10	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (z = C -> ((zDA) + (zDB)) = ((CDA) + (CDB)))
12	11	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (z = C -> ((ADB) <_ ((zDA) + (zDB)) <-> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
13	4, 8, 12	rcla43v 2386	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
14		metf.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom D
15	14	metflem 9083	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
16	15	simprd 352	. . . . . 6 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
17		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
18	17	ralimi 2168	. . . . . . 7 |- (A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
19	18	ralimi 2168	. . . . . 6 |- (A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
20	16, 19	syl 12	. . . . 5 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
21	13, 20	syl5 20	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
22	21	3expib 1070	. . 3 |- (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
23	22	com3r 39	. 2 |- (D e. Met -> (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
24	23	imp31 389	1 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  Metcme 9066

This theorem is referenced by:  metsym 9093  metge0 9096  iscau3 9216  iscau4 9218  lmle 9238  blhalf 15846  heiborlem36 15990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-met 9070

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