MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri3 Structured version   Unicode version

Theorem mettri3 20071
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 13-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
mettri3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( A D C )  +  ( B D C ) ) )

Proof of Theorem mettri3
StepHypRef Expression
1 mettri 20069 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( A D C )  +  ( C D B ) ) )
2 metsym 20067 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B D C )  =  ( C D B ) )
323adant3r1 1197 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  =  ( C D B ) )
43oveq2d 6219 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D C )  +  ( B D C ) )  =  ( ( A D C )  +  ( C D B ) ) )
51, 4breqtrrd 4429 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( A D C )  +  ( B D C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    + caddc 9400    <_ cle 9534   Metcme 17937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-xadd 11205  df-xmet 17945  df-met 17946
This theorem is referenced by:  mstri3  20188
  Copyright terms: Public domain W3C validator