MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Structured version   Unicode version

Theorem mettri2 19758
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 19751 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmettri2 19757 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
31, 2sylan 468 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) )
4 metcl 19749 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C D A )  e.  RR )
543adant3r3 1191 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D A )  e.  RR )
6 metcl 19749 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C D B )  e.  RR )
763adant3r2 1190 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D B )  e.  RR )
8 rexadd 11190 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  e.  RR  /\  ( C D B )  e.  RR )  -> 
( ( C D A ) +e
( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
95, 7, 8syl2anc 654 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( C D A ) +e ( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
103, 9breqtrd 4304 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269    + caddc 9273    <_ cle 9407   +ecxad 11075   *Metcxmt 17645   Metcme 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-mulcl 9332  ax-i2m1 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-xadd 11078  df-xmet 17654  df-met 17655
This theorem is referenced by:  mettri  19769  mstri2  19884  metf1o  28495  isbnd3  28527  heibor1lem  28552  bfplem2  28566
  Copyright terms: Public domain W3C validator