Theorem metsym 9093

Description: The distance function of a metric space is symmetric. Definition 14-1.1(c) of [Gleason] p. 223.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metsym	|- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))

Proof of Theorem metsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	metcl 9088	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
3	1	metcl 9088	. . . 4 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. RR)
4	3	3com23 1074	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) e. RR)
5		letri3 6687	. . 3 |- (((ADB) e. RR /\ (BDA) e. RR) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
6	2, 4, 5	syl11anc 524	. 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
7	1	mettri4 9091	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
8	7	anabsan2 563	. . . 4 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
9	8	3impa 1062	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
10	1	met0 9092	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
11	10	3adant2 895	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
12	11	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = ((BDA) + 0))
13	3	recnd 6468	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. CC)
14		addid1 6463	. . . . . 6 |- ((BDA) e. CC -> ((BDA) + 0) = (BDA))
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
16	15	3com23 1074	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
17	12, 16	eqtrd 1925	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = (BDA))
18	9, 17	breqtrd 3361	. 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ (BDA))
19	1	mettri4 9091	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ (A e. X /\ A e. X)) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
20	19	anabsan2 563	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
21	20	3impa 1062	. . . 4 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
22	21	3com23 1074	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
23	1	met0 9092	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X) -> (ADA) = 0)
24	23	3adant3 896	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADA) = 0)
25	24	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = ((ADB) + 0))
26	2	recnd 6468	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. CC)
27		addid1 6463	. . . . 5 |- ((ADB) e. CC -> ((ADB) + 0) = (ADB))
28	26, 27	syl 12	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + 0) = (ADB))
29	25, 28	eqtrd 1925	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = (ADB))
30	22, 29	breqtrd 3361	. 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ (ADB))
31	6, 18, 30	mpbir2and 802	1 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  Metcme 9066

This theorem is referenced by:  mettri 9094  mettri3 9095  elbl3 9117  metcnp2 9166  rrntotbndlem1 16020

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-0 6393  df-r 6396  df-plus 6397  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-met 9070

Copyright terms: Public domain