Theorem metssba2 9087

Description: The base set of a metric subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metssba2	|- ((D e. Met /\ Y C_ X) -> Y = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Proof of Theorem metssba2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss 2606	. . . 4 |- (Y C_ X <-> Y = (Y i^i X))
2	1	biimpi 168	. . 3 |- (Y C_ X -> Y = (Y i^i X))
3		incom 2787	. . 3 |- (Y i^i X) = (X i^i Y)
4	2, 3	syl6eq 1944	. 2 |- (Y C_ X -> Y = (X i^i Y))
5		metf.1	. . 3 |- X = dom dom D
6	5	metssba 9086	. 2 |- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))
7	4, 6	sylan9eqr 1951	1 |- ((D e. Met /\ Y C_ X) -> Y = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Metcme 9066

This theorem is referenced by:  cmsss 9275  metdcn 15853  iiuni 15868  sstotbnd 15936  totbndss 15937  bndss 15942  blbnd 15943  ismtyres 15954  heiborlem23 15977  rrntotbnd 16022  iccbnd 16026  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-met 9070

Copyright terms: Public domain