Theorem metssba 9086

Description: The base set of a metric subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metssba	|- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Proof of Theorem metssba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom D
2	1	metf 9084	. . . . . 6 |- (D e. Met -> D:(X X. X)-->RR)
3		fdm 4567	. . . . . 6 |- (D:(X X. X)-->RR -> dom D = (X X. X))
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D = (X X. X))
5	4	ineq2d 2796	. . . 4 |- (D e. Met -> ((Y X. Y) i^i dom D) = ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
6		dmres 4234	. . . 4 |- dom ( D |` (Y X. Y)) = ((Y X. Y) i^i dom D)
7	5, 6	syl5eq 1940	. . 3 |- (D e. Met -> dom ( D |` (Y X. Y)) = ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
8	7	dmeqd 4159	. 2 |- (D e. Met -> dom dom ( D |` (Y X. Y)) = dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
9		dmxpin 4180	. . 3 |- dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)) = (Y i^i X)
10		incom 2787	. . 3 |- (Y i^i X) = (X i^i Y)
11	9, 10	eqtri 1908	. 2 |- dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)) = (X i^i Y)
12	8, 11	syl6req 1945	1 |- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  -->wf 3994  RRcr 6385  Metcme 9066

This theorem is referenced by:  metssba2 9087  lmsslem 9230  lmss 9231  caussi 9232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-met 9070

Copyright terms: Public domain