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Theorem metss 20746
Description: Two ways of saying that metric  D generates a finer topology than metric  C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metss  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopnval 20676 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
4 metequiv.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 20676 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
73, 6sseq12d 3533 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  ( topGen ` 
ran  ( ball `  C
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) ) ) )
8 blbas 20668 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
10 unirnbl 20658 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
12 unirnbl 20658 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1411, 13eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  U. ran  ( ball `  D ) )
15 tgss2 19255 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  C
)  e.  TopBases  /\  U. ran  ( ball `  C
)  =  U. ran  ( ball `  D )
)  ->  ( ( topGen `
 ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
169, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  (
( topGen `  ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1711raleqdv 3064 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
18 blssex 20665 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
1918adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
)  <->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) )
2019imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
2120ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
22 rpxr 11223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blelrn 20655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
2422, 23syl3an3 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
25 blcntr 20651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  C
) r ) )
26 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
27 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y  <->  ( x
( ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
2827rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y 
<->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
2926, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3029rspcv 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C ) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3130com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) ) )
3224, 25, 31sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
33323expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3433adantllr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
3534ralrimdva 2882 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
36 blss 20663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
37363expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e. 
ran  ( ball `  C
)  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
3938adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
40 r19.29 2997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
) )
41 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4342reximdv 2937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4443impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4544rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4746ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4839, 47syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4948expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) ) )
5049com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5150ralrimdva 2882 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5235, 51impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5321, 52bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5453ralbidva 2900 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5517, 54bitrd 253 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
567, 16, 553bitrd 279 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RR*cxr 9623   RR+crp 11216   topGenctg 14689   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176   MetOpencmopn 18179   TopBasesctb 19165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-bases 19168
This theorem is referenced by:  metequiv  20747  metss2  20750
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