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Theorem metss 20102
Description: Two ways of saying that metric  D generates a finer topology than metric  C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metss  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopnval 20032 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
4 metequiv.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 20032 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
73, 6sseq12d 3404 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  ( topGen ` 
ran  ( ball `  C
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) ) ) )
8 blbas 20024 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
10 unirnbl 20014 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
12 unirnbl 20014 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1411, 13eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  U. ran  ( ball `  D ) )
15 tgss2 18611 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  C
)  e.  TopBases  /\  U. ran  ( ball `  C
)  =  U. ran  ( ball `  D )
)  ->  ( ( topGen `
 ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
169, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  (
( topGen `  ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1711raleqdv 2942 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
18 blssex 20021 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
1918adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
)  <->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) )
2019imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
2120ralbidv 2754 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
22 rpxr 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blelrn 20011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
2422, 23syl3an3 1253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
25 blcntr 20007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  C
) r ) )
26 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
27 sseq2 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y  <->  ( x
( ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
2827rexbidv 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y 
<->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
2926, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3029rspcv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C ) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3130com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) ) )
3224, 25, 31sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
33323expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3433adantllr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
3534ralrimdva 2825 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
36 blss 20019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
37363expb 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e. 
ran  ( ball `  C
)  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
3938adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
40 r19.29 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
) )
41 sstr 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4342reximdv 2846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4443impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4544rexlimivw 2856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4746ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4839, 47syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4948expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) ) )
5049com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5150ralrimdva 2825 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5235, 51impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5321, 52bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5453ralbidva 2750 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5517, 54bitrd 253 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
567, 16, 553bitrd 279 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735    C_ wss 3347   U.cuni 4110   ran crn 4860   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RR*cxr 9436   RR+crp 11010   topGenctg 14395   *Metcxmt 17820   ballcbl 17822   MetOpencmopn 17825   TopBasesctb 18521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-bases 18524
This theorem is referenced by:  metequiv  20103  metss2  20106
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