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Theorem metss 21523
Description: Two ways of saying that metric  D generates a finer topology than metric  C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metss  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopnval 21453 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
32adantr 467 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
4 metequiv.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 21453 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
65adantl 468 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
73, 6sseq12d 3461 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  ( topGen ` 
ran  ( ball `  C
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) ) ) )
8 blbas 21445 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
98adantr 467 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
10 unirnbl 21435 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
12 unirnbl 21435 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1312adantl 468 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1411, 13eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  U. ran  ( ball `  D ) )
15 tgss2 20003 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  C
)  e.  TopBases  /\  U. ran  ( ball `  C
)  =  U. ran  ( ball `  D )
)  ->  ( ( topGen `
 ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
169, 14, 15syl2anc 667 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  (
( topGen `  ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1711raleqdv 2993 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
18 blssex 21442 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
1918adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
)  <->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) )
2019imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
2120ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
22 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blelrn 21432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
2422, 23syl3an3 1303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
25 blcntr 21428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  C
) r ) )
26 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
27 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y  <->  ( x
( ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
2827rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y 
<->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
2926, 28imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3029rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C ) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3130com23 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) ) )
3224, 25, 31sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
33323expa 1208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3433adantllr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
3534ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
36 blss 21440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
37363expb 1209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e. 
ran  ( ball `  C
)  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )
3837adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
3938adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
40 r19.29 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
) )
41 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4241expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4342reximdv 2861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4443impcom 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4544rexlimivw 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4746ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4839, 47syl5com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4948expr 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) ) )
5049com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5150ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5235, 51impbid 194 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5321, 52bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5453ralbidva 2824 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5517, 54bitrd 257 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
567, 16, 553bitrd 283 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   U.cuni 4198   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RR*cxr 9674   RR+crp 11302   topGenctg 15336   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957   MetOpencmopn 18960   TopBasesctb 19920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-bases 19922
This theorem is referenced by:  metequiv  21524  metss2  21527
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