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Theorem metrest 20854
Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metrest.1  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
metrest.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metrest.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metrest  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )

Proof of Theorem metrest
Dummy variables  u  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
2 metrest.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32elmopn2 20775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  (
u  e.  J  <->  ( u  C_  X  /\  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
) ) )
43simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  J
)  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
54adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
6 ssralv 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u ) )
71, 5, 6mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u )
8 ssrin 3723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
)
98reximi 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
109ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
12 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  C_  Y
1311, 12jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( u  i^i  Y
)  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
14 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  <->  ( u  i^i  Y )  C_  Y
) )
15 sseq2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
) )
1615rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1716raleqbi1dv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x )  <->  ( (
u  i^i  Y )  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) ) )
2019rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
212mopntop 20770 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
23 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  Y  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
24 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
25 rpxr 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
262blopn 20830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  C ) r )  e.  J )
27 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  e.  J  ->  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
29283expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3025, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3130rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3224, 31sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3332anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3423, 33sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3534anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3635rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3736adantrd 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3837adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3938abssdv 3574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  C_  J )
40 uniopn 19213 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  C_  J
)  ->  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J )
4122, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  e.  J
)
42 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y ( ball `  C
) r )  =  ( u ( ball `  C ) r ) )
4342ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  =  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
) )
4443sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
4544rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4645rspccv 3211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4746ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
48 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  Y  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
49 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
u  e.  Y  ->  u  e.  X )
)
50 blcntr 20743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) )
5150a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) ) )
5251ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
53523expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  u  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  ( ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
5453reximdva 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  (
u  e.  X  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5649, 55sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( u  e.  Y  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5748, 56sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5857adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5947, 58mpdd 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
6042eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
u  e.  ( y ( ball `  C
) r )  <->  u  e.  ( u ( ball `  C ) r ) ) )
6144, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  <-> 
( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6261rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6362rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  x  /\  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
6463ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
6559, 64sylcom 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
66 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  C_  Y )
6766sseld 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
6865, 67jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
69 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  <->  ( u  e.  ( y ( ball `  C ) r )  /\  u  e.  Y
) )
70 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )  ->  u  e.  x )
7169, 70sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  ( u  e.  (
y ( ball `  C
) r )  /\  u  e.  Y )
)  ->  u  e.  x )
7271expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7372rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7473rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  ->  ( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7574imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  ->  u  e.  x )
7668, 75impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
77 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
)  <->  ( u  e. 
U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  /\  u  e.  Y
) )
78 eluniab 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) ) )
79 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  /\  u  e.  z ) )
80 anass 649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  /\  u  e.  z
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
81 r19.41v 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8281rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
) )
83 r19.41v 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8482, 83bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8579, 80, 843bitri 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8685exbii 1644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
87 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ball `  C
) r )  e. 
_V
88 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
z  i^i  Y )  =  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )
8988sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
90 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  ( y ( ball `  C ) r ) ) )
9189, 90anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
)  <->  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
9287, 91ceqsexv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) )  <->  ( (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) ) )
9392rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
94 rexcom4 3133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9593, 94bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9695rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  <->  E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
97 rexcom4 3133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9896, 97bitr2i 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
9978, 86, 983bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
10099anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  /\  u  e.  Y )  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) )
10177, 100bitr2i 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
10276, 101syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
103102eqrdv 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  =  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
104 ineq1 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( u  i^i 
Y )  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) )
105104eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( x  =  ( u  i^i  Y
)  <->  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
106105rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J  /\  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
10741, 103, 106syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
108107ex 434 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
)  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
10920, 108impbid 191 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
110 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
11124, 110elind 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
112 metrest.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
113112blres 20761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  =  ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y ) )
114113sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
1151143expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
11625, 115sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
117116rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
118111, 117sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
119118anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
12023, 119sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
121120anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
122121ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
123122pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
124109, 123bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
12521adantr 465 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
126 id 22 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
1272mopnm 20774 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  J )
128 ssexg 4593 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
129126, 127, 128syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  Y  e.  _V )
130 elrest 14686 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
131125, 129, 130syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
132 xmetres2 20691 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( C  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
133112, 132syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  Y
) )
134 metrest.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
135134elmopn2 20775 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
136133, 135syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x ) ) )
137124, 131, 1363bitr4d 285 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  x  e.  K ) )
138137eqrdv 2464 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RR*cxr 9628   RR+crp 11221   ↾t crest 14679   *Metcxmt 18214   ballcbl 18216   MetOpencmopn 18219   Topctop 19201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209
This theorem is referenced by:  ressxms  20855  nrginvrcn  21027  resubmet  21134  tgioo2  21135  metdscn2  21188  divcn  21199  dfii3  21214  cncfcn  21240  cmetss  21580  minveclem4a  21672  ftc1lem6  22269  ulmdvlem3  22623  abelth  22662  cxpcn3  22947  rlimcnp  23120  minvecolem4b  25567  minvecolem4  25569  hhsscms  25968  ftc1cnnc  29942
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