MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metreg Structured version   Unicode version

Theorem metreg 20581
Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metreg  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem metreg
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metnrm 20580 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
31methaus 20237 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
4 haust1 19098 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Fre )
6 nrmreg 19539 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
72, 5, 6syl2anc 661 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529   *Metcxmt 17936   MetOpencmopn 17941   Frect1 19053   Hauscha 19054   Regcreg 19055   Nrmcnrm 19056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-ec 7216  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-icc 11422  df-topgen 14505  df-qtop 14568  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-cn 18973  df-t0 19059  df-t1 19060  df-haus 19061  df-reg 19062  df-nrm 19063  df-kq 19409  df-hmeo 19470  df-hmph 19471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator