MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem3OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metnrmlem3OLD 21886
Description: Lemma for metnrm 21887. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of metnrmlem3 21871 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscnOLD.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscnOLD.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlemOLD.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlemOLD.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlemOLD.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlemOLD.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlemOLD.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
metnrmlemOLD.g  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metnrmlemOLD.v  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3OLD  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    t, s, w, x, y, z, D    J, s, t, w, y, z    ph, s, t    G, s, t    T, s, t, w, x, y, z    S, s, t, w, x, y, z    U, s, w    X, s, t, w, x, y, z    F, s, t, w, z    w, V, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    U( x, y, z, t)    F( x, y)    G( x, y, z, w)    J( x)    V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3OLD
StepHypRef Expression
1 metnrmlemOLD.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 metdscnOLD.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 metnrmlemOLD.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4 metnrmlemOLD.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
5 metnrmlemOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
6 incom 3624 . . . . 5  |-  ( T  i^i  S )  =  ( S  i^i  T
)
7 metnrmlemOLD.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
86, 7syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  S
)  =  (/) )
9 metnrmlemOLD.v . . . 4  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2OLD 21885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  S  C_  V ) )
1110simpld 461 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
12 metdscnOLD.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
13 metnrmlemOLD.u . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2OLD 21885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
1514simpld 461 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1610simprd 465 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
1714simprd 465 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
189ineq1i 3629 . . . 4  |-  ( V  i^i  U )  =  ( U_ s  e.  S  ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
19 iunin1 4342 . . . 4  |-  U_ s  e.  S  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U )
2018, 19eqtr4i 2475 . . 3  |-  ( V  i^i  U )  = 
U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
2113ineq2i 3630 . . . . . . . 8  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
22 iunin2 4341 . . . . . . . 8  |-  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
2321, 22eqtr4i 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
243adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
25 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
2625cldss 20037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
282mopnuni 21449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3027, 29sseqtr4d 3468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3130sselda 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  X )
3231adantrr 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
s  e.  X )
3325cldss 20037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
3534, 29sseqtr4d 3468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
3635sselda 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
3736adantrl 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
t  e.  X )
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1aOLD 21883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
0  <  ( G `  s )  /\  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
)
3938simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4039adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4140rphalfcld 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4241rpxrd 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1aOLD 21883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
4443adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR+ ) )
4544simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
4645rphalfcld 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4746rpxrd 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4840rpred 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR )
4948rehalfcld 10856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR )
5045rpred 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR )
5150rehalfcld 10856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )
52 rexadd 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) +e ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  /  2
)  +  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
5448recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  CC )
5550recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  CC )
56 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  CC )
57 2ne0 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  =/=  0 )
5954, 55, 56, 58divdird 10418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
6053, 59eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )
611, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1OLD 21884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  s  e.  S ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
6261ancom2s 810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
63 xmetsym 21355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  s  e.  X
)  ->  ( t D s )  =  ( s D t ) )
6424, 37, 32, 63syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( t D s )  =  ( s D t ) )
6562, 64breqtrd 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( s D t ) )
6612, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1OLD 21884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_  ( s D t ) )
6740rpxrd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR* )
6845rpxrd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR* )
69 xmetcl 21339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  ->  ( s D t )  e. 
RR* )
7024, 32, 37, 69syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s D t )  e.  RR* )
71 xle2add 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e. 
RR*  /\  if (
1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e. 
RR* )  /\  (
( s D t )  e.  RR*  /\  (
s D t )  e.  RR* ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7267, 68, 70, 70, 71syl22anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7365, 66, 72mp2and 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
7448, 50readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  RR )
7574recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  CC )
7675, 56, 58divcan2d 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
77 2re 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
7874rehalfcld 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )
79 rexmul 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
8077, 78, 79sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
81 rexadd 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  e.  RR  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8248, 50, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8376, 80, 823eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) ) )
84 x2times 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s D t )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8570, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8673, 83, 853brtr4d 4432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) )
8778rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR* )
88 2rp 11304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  RR+ )
90 xlemul2 11574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( s D t )  e.  RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t )  <-> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9187, 70, 89, 90syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 )  <_ 
( s D t )  <->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  <_  ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9286, 91mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t ) )
9360, 92eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) )
94 bldisj 21406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
9524, 32, 37, 42, 47, 93, 94syl33anc 1282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
96 eqimss 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )  =  (/)  ->  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9897anassrs 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  S )  /\  t  e.  T )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/) )
9998ralrimiva 2801 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  A. t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
100 iunss 4318 . . . . . . . 8  |-  ( U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/)  <->  A. t  e.  T  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10199, 100sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10223, 101syl5eqss 3475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/) )
103102ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
104 iunss 4318 . . . . 5  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  <->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
105103, 104sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
106 ss0 3764 . . . 4  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  ->  U_ s  e.  S  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
107105, 106syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
10820, 107syl5eq 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U
)  =  (/) )
109 sseq2 3453 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  V
) )
110 ineq1 3626 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
z  i^i  w )  =  ( V  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2452 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1340 . . 3  |-  ( z  =  V  ->  (
( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w )  =  (/) ) ) )
113 sseq2 3453 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  ( T  C_  w  <->  T  C_  U
) )
114 ineq2 3627 . . . . 5  |-  ( w  =  U  ->  ( V  i^i  w )  =  ( V  i^i  U
) )
115114eqeq1d 2452 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  (
( V  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1341 . . 3  |-  ( w  =  U  ->  (
( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3160 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  U  e.  J  /\  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11811, 15, 16, 17, 108, 117syl113anc 1279 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   U.cuni 4197   U_ciun 4277   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    / cdiv 10266   2c2 10656   RR+crp 11299   +ecxad 11404   xecxmu 11405   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   Clsdccld 20024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-icc 11639  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator