Theorem metnrmlem3OLD 21971

Description: Lemma for metnrm 21972. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of metnrmlem3 21956 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscnOLD.f	|- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
metdscnOLD.j	|- J = ( MetOpen ` D )
metnrmlemOLD.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
metnrmlemOLD.2	|- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlemOLD.3	|- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlemOLD.4	|- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
metnrmlemOLD.u	|- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
metnrmlemOLD.g	|- G = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
metnrmlemOLD.v	|- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem3OLD	|- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   t, s, w, x, y, z, D   J, s, t, w, y, z   ph, s, t   G, s, t   T, s, t, w, x, y, z   S, s, t, w, x, y, z   U, s, w   X, s, t, w, x, y, z   F, s, t, w, z   w, V, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   U( x, y, z, t)   F( x, y)   G( x, y, z, w)   J( x)   V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlemOLD.g	. . . 4 |- G = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
2		metdscnOLD.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
3		metnrmlemOLD.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4		metnrmlemOLD.3	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
5		metnrmlemOLD.2	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
6		incom 3616	. . . . 5 |- ( T i^i S ) = ( S i^i T )
7		metnrmlemOLD.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
8	6, 7	syl5eq 2517	. . . 4 |- ( ph -> ( T i^i S ) = (/) )
9		metnrmlemOLD.v	. . . 4 |- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9	metnrmlem2OLD 21970	. . 3 |- ( ph -> ( V e. J /\ S C_ V ) )
11	10	simpld 466	. 2 |- ( ph -> V e. J )
12		metdscnOLD.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
13		metnrmlemOLD.u	. . . 4 |- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
14	12, 2, 3, 5, 4, 7, 13	metnrmlem2OLD 21970	. . 3 |- ( ph -> ( U e. J /\ T C_ U ) )
15	14	simpld 466	. 2 |- ( ph -> U e. J )
16	10	simprd 470	. 2 |- ( ph -> S C_ V )
17	14	simprd 470	. 2 |- ( ph -> T C_ U )
18	9	ineq1i 3621	. . . 4 |- ( V i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
19		iunin1 4334	. . . 4 |- U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
20	18, 19	eqtr4i 2496	. . 3 |- ( V i^i U ) = U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
21	13	ineq2i 3622	. . . . . . . 8 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
22		iunin2 4333	. . . . . . . 8 |- U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2496	. . . . . . 7 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
24	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. J = U. J
26	25	cldss 20121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ U. J )
28	2	mopnuni 21534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
30	27, 29	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ X )
31	30	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> s e. X )
32	31	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> s e. X )
33	25	cldss 20121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. ( Clsd ` J ) -> T C_ U. J )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T C_ U. J )
35	34, 29	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ X )
36	35	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. X )
37	36	adantrl 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> t e. X )
38	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1aOLD 21968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( 0 < ( G ` s ) /\ if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ ) )
39	38	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
40	39	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
41	40	rphalfcld 11376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR+ )
42	41	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* )
43	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1aOLD 21968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
44	43	adantrl 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
45	44	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ )
46	45	rphalfcld 11376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR+ )
47	46	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* )
48	40	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR )
49	48	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR )
50	45	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR )
51	50	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR )
52		rexadd 11548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
54	48	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. CC )
55	50	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. CC )
56		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. CC )
57		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 =/= 0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 =/= 0 )
59	54, 55, 56, 58	divdird 10443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
60	53, 59	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) )
61	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1OLD 21969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ s e. S ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
62	61	ancom2s 819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
63		xmetsym 21440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ t e. X /\ s e. X ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
64	24, 37, 32, 63	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
65	62, 64	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) )
66	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1OLD 21969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) )
67	40	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* )
68	45	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* )
69		xmetcl 21424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) -> ( s D t ) e. RR* )
70	24, 32, 37, 69	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( s D t ) e. RR* )
71		xle2add 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* ) /\ ( ( s D t ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
72	67, 68, 70, 70, 71	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
73	65, 66, 72	mp2and 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
74	48, 50	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. RR )
75	74	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. CC )
76	75, 56, 58	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
77		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
78	74	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR )
79		rexmul 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
80	77, 78, 79	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
81		rexadd 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
82	48, 50, 81	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
83	76, 80, 82	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
84		x2times 11610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s D t ) e. RR* -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
85	70, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
86	73, 83, 85	3brtr4d 4426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) )
87	78	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* )
88		2rp 11330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. RR+ )
90		xlemul2 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
91	87, 70, 89, 90	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
92	86, 91	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) )
93	60, 92	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) )
94		bldisj 21491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
95	24, 32, 37, 42, 47, 93, 94	syl33anc 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
96		eqimss 3470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
98	97	anassrs 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. S ) /\ t e. T ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
99	98	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
100		iunss 4310	. . . . . . . 8 |- ( U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) <-> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
101	99, 100	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
102	23, 101	syl5eqss 3462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
103	102	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
104		iunss 4310	. . . . 5 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) <-> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
105	103, 104	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
106		ss0 3768	. . . 4 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
107	105, 106	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
108	20, 107	syl5eq 2517	. 2 |- ( ph -> ( V i^i U ) = (/) )
109		sseq2 3440	. . . 4 |- ( z = V -> ( S C_ z <-> S C_ V ) )
110		ineq1 3618	. . . . 5 |- ( z = V -> ( z i^i w ) = ( V i^i w ) )
111	110	eqeq1d 2473	. . . 4 |- ( z = V -> ( ( z i^i w ) = (/) <-> ( V i^i w ) = (/) ) )
112	109, 111	3anbi13d 1367	. . 3 |- ( z = V -> ( ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) ) )
113		sseq2 3440	. . . 4 |- ( w = U -> ( T C_ w <-> T C_ U ) )
114		ineq2 3619	. . . . 5 |- ( w = U -> ( V i^i w ) = ( V i^i U ) )
115	114	eqeq1d 2473	. . . 4 |- ( w = U -> ( ( V i^i w ) = (/) <-> ( V i^i U ) = (/) ) )
116	113, 115	3anbi23d 1368	. . 3 |- ( w = U -> ( ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) )
117	112, 116	rspc2ev 3149	. 2 |- ( ( V e. J /\ U e. J /\ ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
118	11, 15, 16, 17, 108, 117	syl113anc 1304	1 |- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   +ecxad 11430   xecxmu 11431   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Clsdccld 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113

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