Theorem metnrmlem3OLD 21886

Description: Lemma for metnrm 21887. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of metnrmlem3 21871 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscnOLD.f	|- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
metdscnOLD.j	|- J = ( MetOpen ` D )
metnrmlemOLD.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
metnrmlemOLD.2	|- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlemOLD.3	|- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlemOLD.4	|- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
metnrmlemOLD.u	|- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
metnrmlemOLD.g	|- G = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
metnrmlemOLD.v	|- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem3OLD	|- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   t, s, w, x, y, z, D   J, s, t, w, y, z   ph, s, t   G, s, t   T, s, t, w, x, y, z   S, s, t, w, x, y, z   U, s, w   X, s, t, w, x, y, z   F, s, t, w, z   w, V, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   U( x, y, z, t)   F( x, y)   G( x, y, z, w)   J( x)   V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlemOLD.g	. . . 4 |- G = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
2		metdscnOLD.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
3		metnrmlemOLD.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4		metnrmlemOLD.3	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
5		metnrmlemOLD.2	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
6		incom 3624	. . . . 5 |- ( T i^i S ) = ( S i^i T )
7		metnrmlemOLD.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
8	6, 7	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ph -> ( T i^i S ) = (/) )
9		metnrmlemOLD.v	. . . 4 |- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9	metnrmlem2OLD 21885	. . 3 |- ( ph -> ( V e. J /\ S C_ V ) )
11	10	simpld 461	. 2 |- ( ph -> V e. J )
12		metdscnOLD.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
13		metnrmlemOLD.u	. . . 4 |- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
14	12, 2, 3, 5, 4, 7, 13	metnrmlem2OLD 21885	. . 3 |- ( ph -> ( U e. J /\ T C_ U ) )
15	14	simpld 461	. 2 |- ( ph -> U e. J )
16	10	simprd 465	. 2 |- ( ph -> S C_ V )
17	14	simprd 465	. 2 |- ( ph -> T C_ U )
18	9	ineq1i 3629	. . . 4 |- ( V i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
19		iunin1 4342	. . . 4 |- U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
20	18, 19	eqtr4i 2475	. . 3 |- ( V i^i U ) = U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
21	13	ineq2i 3630	. . . . . . . 8 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
22		iunin2 4341	. . . . . . . 8 |- U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2475	. . . . . . 7 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
24	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. J = U. J
26	25	cldss 20037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ U. J )
28	2	mopnuni 21449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
30	27, 29	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ X )
31	30	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> s e. X )
32	31	adantrr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> s e. X )
33	25	cldss 20037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. ( Clsd ` J ) -> T C_ U. J )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T C_ U. J )
35	34, 29	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ X )
36	35	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. X )
37	36	adantrl 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> t e. X )
38	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1aOLD 21883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( 0 < ( G ` s ) /\ if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ ) )
39	38	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
40	39	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
41	40	rphalfcld 11350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR+ )
42	41	rpxrd 11339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* )
43	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1aOLD 21883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
44	43	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
45	44	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ )
46	45	rphalfcld 11350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR+ )
47	46	rpxrd 11339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* )
48	40	rpred 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR )
49	48	rehalfcld 10856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR )
50	45	rpred 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR )
51	50	rehalfcld 10856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR )
52		rexadd 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
54	48	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. CC )
55	50	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. CC )
56		2cnd 10679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. CC )
57		2ne0 10699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 =/= 0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 =/= 0 )
59	54, 55, 56, 58	divdird 10418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
60	53, 59	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) )
61	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1OLD 21884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ s e. S ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
62	61	ancom2s 810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
63		xmetsym 21355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ t e. X /\ s e. X ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
64	24, 37, 32, 63	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
65	62, 64	breqtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) )
66	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1OLD 21884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) )
67	40	rpxrd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* )
68	45	rpxrd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* )
69		xmetcl 21339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) -> ( s D t ) e. RR* )
70	24, 32, 37, 69	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( s D t ) e. RR* )
71		xle2add 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* ) /\ ( ( s D t ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
72	67, 68, 70, 70, 71	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
73	65, 66, 72	mp2and 684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
74	48, 50	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. RR )
75	74	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. CC )
76	75, 56, 58	divcan2d 10382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
77		2re 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
78	74	rehalfcld 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR )
79		rexmul 11554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
80	77, 78, 79	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
81		rexadd 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
82	48, 50, 81	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
83	76, 80, 82	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
84		x2times 11582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s D t ) e. RR* -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
85	70, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
86	73, 83, 85	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) )
87	78	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* )
88		2rp 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. RR+ )
90		xlemul2 11574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
91	87, 70, 89, 90	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
92	86, 91	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) )
93	60, 92	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) )
94		bldisj 21406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
95	24, 32, 37, 42, 47, 93, 94	syl33anc 1282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
96		eqimss 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
98	97	anassrs 653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. S ) /\ t e. T ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
99	98	ralrimiva 2801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
100		iunss 4318	. . . . . . . 8 |- ( U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) <-> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
101	99, 100	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
102	23, 101	syl5eqss 3475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
103	102	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
104		iunss 4318	. . . . 5 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) <-> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
105	103, 104	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
106		ss0 3764	. . . 4 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
107	105, 106	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
108	20, 107	syl5eq 2496	. 2 |- ( ph -> ( V i^i U ) = (/) )
109		sseq2 3453	. . . 4 |- ( z = V -> ( S C_ z <-> S C_ V ) )
110		ineq1 3626	. . . . 5 |- ( z = V -> ( z i^i w ) = ( V i^i w ) )
111	110	eqeq1d 2452	. . . 4 |- ( z = V -> ( ( z i^i w ) = (/) <-> ( V i^i w ) = (/) ) )
112	109, 111	3anbi13d 1340	. . 3 |- ( z = V -> ( ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) ) )
113		sseq2 3453	. . . 4 |- ( w = U -> ( T C_ w <-> T C_ U ) )
114		ineq2 3627	. . . . 5 |- ( w = U -> ( V i^i w ) = ( V i^i U ) )
115	114	eqeq1d 2452	. . . 4 |- ( w = U -> ( ( V i^i w ) = (/) <-> ( V i^i U ) = (/) ) )
116	113, 115	3anbi23d 1341	. . 3 |- ( w = U -> ( ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) )
117	112, 116	rspc2ev 3160	. 2 |- ( ( V e. J /\ U e. J /\ ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
118	11, 15, 16, 17, 108, 117	syl113anc 1279	1 |- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   U.cuni 4197   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   2c2 10656   RR+crp 11299   +ecxad 11404   xecxmu 11405   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   Clsdccld 20024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-icc 11639  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029

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