Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metnrmlem3 21956
 Description: Lemma for metnrm 21972. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f inf
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
metnrmlem.u
metnrmlem.g inf
metnrmlem.v
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4 inf
2 metdscn.j . . . 4
3 metnrmlem.1 . . . 4
4 metnrmlem.3 . . . 4
5 metnrmlem.2 . . . 4
6 incom 3616 . . . . 5
7 metnrmlem.4 . . . . 5
86, 7syl5eq 2517 . . . 4
9 metnrmlem.v . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 21955 . . 3
1110simpld 466 . 2
12 metdscn.f . . . 4 inf
13 metnrmlem.u . . . 4
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 21955 . . 3
1514simpld 466 . 2
1610simprd 470 . 2
1714simprd 470 . 2
189ineq1i 3621 . . . 4
19 iunin1 4334 . . . 4
2018, 19eqtr4i 2496 . . 3
2113ineq2i 3622 . . . . . . . 8
22 iunin2 4333 . . . . . . . 8
2321, 22eqtr4i 2496 . . . . . . 7
243adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
25 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . 16
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
282mopnuni 21534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 29sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . 14
3130sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
3231adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
3325cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . 16
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534, 29sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . 14
3635sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
3736adantrl 730 . . . . . . . . . . . 12
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 21953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
4140rphalfcld 11376 . . . . . . . . . . . . 13
4241rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . 12
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 21953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443adantrl 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
4645rphalfcld 11376 . . . . . . . . . . . . 13
4746rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . 12
4840rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15
5045rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . . 15
5349, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
5448recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
5550recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5954, 55, 56, 58divdird 10443 . . . . . . . . . . . . . 14
6053, 59eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
611, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 21954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 xmetsym 21440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6424, 37, 32, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6562, 64breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6612, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 21954 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6740rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6845rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 xmetcl 21424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7024, 32, 37, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 xle2add 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7267, 68, 70, 70, 71syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7365, 66, 72mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . 15
7448, 50readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7574recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675, 56, 58divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7874rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 rexmul 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8077, 78, 79sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8248, 50, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8376, 80, 823eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 x2times 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8570, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
8673, 83, 853brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . . . 14
8778rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 xlemul2 11602 . . . . . . . . . . . . . . 15
9187, 70, 89, 90syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
9286, 91mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
9360, 92eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12
94 bldisj 21491 . . . . . . . . . . . 12
9524, 32, 37, 42, 47, 93, 94syl33anc 1307 . . . . . . . . . . 11
96 eqimss 3470 . . . . . . . . . . 11
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10
9897anassrs 660 . . . . . . . . 9
9998ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
100 iunss 4310 . . . . . . . 8
10199, 100sylibr 217 . . . . . . 7
10223, 101syl5eqss 3462 . . . . . 6
103102ralrimiva 2809 . . . . 5
104 iunss 4310 . . . . 5
105103, 104sylibr 217 . . . 4
106 ss0 3768 . . . 4
107105, 106syl 17 . . 3
10820, 107syl5eq 2517 . 2
109 sseq2 3440 . . . 4
110 ineq1 3618 . . . . 5
111110eqeq1d 2473 . . . 4
112109, 1113anbi13d 1367 . . 3
113 sseq2 3440 . . . 4
114 ineq2 3619 . . . . 5
115114eqeq1d 2473 . . . 4
116113, 1153anbi23d 1368 . . 3
117112, 116rspc2ev 3149 . 2
11811, 15, 16, 17, 108, 117syl113anc 1304 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cif 3872  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cxad 11430  cxmu 11431  cxmt 19032  cbl 19034  cmopn 19037  ccld 20108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113 This theorem is referenced by:  metnrm  21972
 Copyright terms: Public domain W3C validator