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Theorem metnrmlem3 20570
Description: Lemma for metnrm 20571. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
metnrmlem.g  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metnrmlem.v  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    t, s, w, x, y, z, D    J, s, t, w, y, z    ph, s, t    G, s, t    T, s, t, w, x, y, z    S, s, t, w, x, y, z    U, s, w    X, s, t, w, x, y, z    F, s, t, w, z    w, V, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    U( x, y, z, t)    F( x, y)    G( x, y, z, w)    J( x)    V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 metdscn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 metnrmlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4 metnrmlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
5 metnrmlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
6 incom 3652 . . . . 5  |-  ( T  i^i  S )  =  ( S  i^i  T
)
7 metnrmlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
86, 7syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  S
)  =  (/) )
9 metnrmlem.v . . . 4  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 20569 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  S  C_  V ) )
1110simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
12 metdscn.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
13 metnrmlem.u . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 20569 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
1514simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1610simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
1714simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
189ineq1i 3657 . . . 4  |-  ( V  i^i  U )  =  ( U_ s  e.  S  ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
19 iunin1 4344 . . . 4  |-  U_ s  e.  S  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U )
2018, 19eqtr4i 2486 . . 3  |-  ( V  i^i  U )  = 
U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
2113ineq2i 3658 . . . . . . . 8  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
22 iunin2 4343 . . . . . . . 8  |-  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
2321, 22eqtr4i 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
243adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
25 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
2625cldss 18766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
275, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
282mopnuni 20149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3027, 29sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3130sselda 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  X )
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
s  e.  X )
3325cldss 18766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
344, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
3534, 29sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
3635sselda 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
3736adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
t  e.  X )
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 20567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
0  <  ( G `  s )  /\  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
)
3938simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4140rphalfcld 11151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4241rpxrd 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 20567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
4443adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR+ ) )
4544simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
4645rphalfcld 11151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4746rpxrd 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4840rpred 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR )
4948rehalfcld 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR )
5045rpred 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR )
5150rehalfcld 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )
52 rexadd 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) +e ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  /  2
)  +  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
5448recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  CC )
5550recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  CC )
56 2cnd 10506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  CC )
57 2ne0 10526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  =/=  0 )
5954, 55, 56, 58divdird 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
6053, 59eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )
611, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 20568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  s  e.  S ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
6261ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
63 xmetsym 20055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  s  e.  X
)  ->  ( t D s )  =  ( s D t ) )
6424, 37, 32, 63syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( t D s )  =  ( s D t ) )
6562, 64breqtrd 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( s D t ) )
6612, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 20568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_  ( s D t ) )
6740rpxrd 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR* )
6845rpxrd 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR* )
69 xmetcl 20039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  ->  ( s D t )  e. 
RR* )
7024, 32, 37, 69syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s D t )  e.  RR* )
71 xle2add 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e. 
RR*  /\  if (
1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e. 
RR* )  /\  (
( s D t )  e.  RR*  /\  (
s D t )  e.  RR* ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7267, 68, 70, 70, 71syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7365, 66, 72mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
7448, 50readdcld 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  RR )
7574recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  CC )
7675, 56, 58divcan2d 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
77 2re 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
7874rehalfcld 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )
79 rexmul 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
8077, 78, 79sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
81 rexadd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  e.  RR  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8248, 50, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8376, 80, 823eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) ) )
84 x2times 11374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s D t )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8570, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8673, 83, 853brtr4d 4431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) )
8778rexrd 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR* )
88 2rp 11108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  RR+ )
90 xlemul2 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( s D t )  e.  RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t )  <-> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9187, 70, 89, 90syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 )  <_ 
( s D t )  <->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  <_  ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9286, 91mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t ) )
9360, 92eqbrtrd 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) )
94 bldisj 20106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
9524, 32, 37, 42, 47, 93, 94syl33anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
96 eqimss 3517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )  =  (/)  ->  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9897anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  S )  /\  t  e.  T )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/) )
9998ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  A. t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
100 iunss 4320 . . . . . . . 8  |-  ( U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/)  <->  A. t  e.  T  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10199, 100sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10223, 101syl5eqss 3509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/) )
103102ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
104 iunss 4320 . . . . 5  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  <->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
105103, 104sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
106 ss0 3777 . . . 4  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  ->  U_ s  e.  S  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
107105, 106syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
10820, 107syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U
)  =  (/) )
109 sseq2 3487 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  V
) )
110 ineq1 3654 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
z  i^i  w )  =  ( V  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1292 . . 3  |-  ( z  =  V  ->  (
( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w )  =  (/) ) ) )
113 sseq2 3487 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  ( T  C_  w  <->  T  C_  U
) )
114 ineq2 3655 . . . . 5  |-  ( w  =  U  ->  ( V  i^i  w )  =  ( V  i^i  U
) )
115114eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  (
( V  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1293 . . 3  |-  ( w  =  U  ->  (
( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3188 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  U  e.  J  /\  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11811, 15, 16, 17, 108, 117syl113anc 1231 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ifcif 3900   U.cuni 4200   U_ciun 4280   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   `'ccnv 4948   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supcsup 7802   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531    / cdiv 10105   2c2 10483   RR+crp 11103   +ecxad 11199   xecxmu 11200   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929   MetOpencmopn 17932   Clsdccld 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-ec 7214  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758
This theorem is referenced by:  metnrm  20571
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