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Theorem metnrmlem3 20412
Description: Lemma for metnrm 20413. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
metnrmlem.g  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metnrmlem.v  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    t, s, w, x, y, z, D    J, s, t, w, y, z    ph, s, t    G, s, t    T, s, t, w, x, y, z    S, s, t, w, x, y, z    U, s, w    X, s, t, w, x, y, z    F, s, t, w, z    w, V, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    U( x, y, z, t)    F( x, y)    G( x, y, z, w)    J( x)    V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 metdscn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 metnrmlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4 metnrmlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
5 metnrmlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
6 incom 3538 . . . . 5  |-  ( T  i^i  S )  =  ( S  i^i  T
)
7 metnrmlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
86, 7syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  S
)  =  (/) )
9 metnrmlem.v . . . 4  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 20411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  S  C_  V ) )
1110simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
12 metdscn.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
13 metnrmlem.u . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 20411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
1514simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1610simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
1714simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
189ineq1i 3543 . . . 4  |-  ( V  i^i  U )  =  ( U_ s  e.  S  ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
19 iunin1 4230 . . . 4  |-  U_ s  e.  S  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U )
2018, 19eqtr4i 2461 . . 3  |-  ( V  i^i  U )  = 
U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
2113ineq2i 3544 . . . . . . . 8  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
22 iunin2 4229 . . . . . . . 8  |-  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
2321, 22eqtr4i 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
243adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
2625cldss 18608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
275, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
282mopnuni 19991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3027, 29sseqtr4d 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3130sselda 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  X )
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
s  e.  X )
3325cldss 18608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
344, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
3534, 29sseqtr4d 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
3635sselda 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
3736adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
t  e.  X )
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 20409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
0  <  ( G `  s )  /\  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
)
3938simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4140rphalfcld 11031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4241rpxrd 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 20409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
4443adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR+ ) )
4544simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
4645rphalfcld 11031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4746rpxrd 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4840rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR )
4948rehalfcld 10563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR )
5045rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR )
5150rehalfcld 10563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )
52 rexadd 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) +e ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  /  2
)  +  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
5448recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  CC )
5550recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  CC )
56 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  CC )
57 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  =/=  0 )
5954, 55, 56, 58divdird 10137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
6053, 59eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )
611, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 20410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  s  e.  S ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
6261ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
63 xmetsym 19897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  s  e.  X
)  ->  ( t D s )  =  ( s D t ) )
6424, 37, 32, 63syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( t D s )  =  ( s D t ) )
6562, 64breqtrd 4311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( s D t ) )
6612, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 20410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_  ( s D t ) )
6740rpxrd 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR* )
6845rpxrd 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR* )
69 xmetcl 19881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  ->  ( s D t )  e. 
RR* )
7024, 32, 37, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s D t )  e.  RR* )
71 xle2add 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e. 
RR*  /\  if (
1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e. 
RR* )  /\  (
( s D t )  e.  RR*  /\  (
s D t )  e.  RR* ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7267, 68, 70, 70, 71syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
7365, 66, 72mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
7448, 50readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  RR )
7574recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  CC )
7675, 56, 58divcan2d 10101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
77 2re 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
7874rehalfcld 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )
79 rexmul 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
8077, 78, 79sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
81 rexadd 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  e.  RR  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8248, 50, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8376, 80, 823eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) +e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) ) )
84 x2times 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s D t )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8570, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
8673, 83, 853brtr4d 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) )
8778rexrd 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR* )
88 2rp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  RR+ )
90 xlemul2 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( s D t )  e.  RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t )  <-> 
( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9187, 70, 89, 90syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 )  <_ 
( s D t )  <->  ( 2 xe ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  <_  ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
9286, 91mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t ) )
9360, 92eqbrtrd 4307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) )
94 bldisj 19948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) +e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
9524, 32, 37, 42, 47, 93, 94syl33anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
96 eqimss 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )  =  (/)  ->  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9897anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  S )  /\  t  e.  T )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/) )
9998ralrimiva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  A. t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
100 iunss 4206 . . . . . . . 8  |-  ( U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/)  <->  A. t  e.  T  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10199, 100sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10223, 101syl5eqss 3395 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/) )
103102ralrimiva 2794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
104 iunss 4206 . . . . 5  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  <->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
105103, 104sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
106 ss0 3663 . . . 4  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  ->  U_ s  e.  S  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
107105, 106syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
10820, 107syl5eq 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U
)  =  (/) )
109 sseq2 3373 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  V
) )
110 ineq1 3540 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
z  i^i  w )  =  ( V  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1291 . . 3  |-  ( z  =  V  ->  (
( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w )  =  (/) ) ) )
113 sseq2 3373 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  ( T  C_  w  <->  T  C_  U
) )
114 ineq2 3541 . . . . 5  |-  ( w  =  U  ->  ( V  i^i  w )  =  ( V  i^i  U
) )
115114eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  (
( V  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1292 . . 3  |-  ( w  =  U  ->  (
( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3076 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  U  e.  J  /\  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11811, 15, 16, 17, 108, 117syl113anc 1230 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   U.cuni 4086   U_ciun 4166   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   2c2 10363   RR+crp 10983   +ecxad 11079   xecxmu 11080   *Metcxmt 17776   ballcbl 17778   MetOpencmopn 17781   Clsdccld 18595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600
This theorem is referenced by:  metnrm  20413
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