Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem2 21127
 Description: Lemma for metnrm 21129. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
metnrmlem.u
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,)   ()

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3
2 metnrmlem.1 . . . . 5
3 metdscn.j . . . . . 6
43mopntop 20706 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
62adantr 465 . . . . . 6
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9
8 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
98cldss 19324 . . . . . . . . 9
107, 9syl 16 . . . . . . . 8
113mopnuni 20707 . . . . . . . . 9
122, 11syl 16 . . . . . . . 8
1310, 12sseqtr4d 3541 . . . . . . 7
1413sselda 3504 . . . . . 6
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 21125 . . . . . . . . 9
1918simprd 463 . . . . . . . 8
2019rphalfcld 11268 . . . . . . 7
2120rpxrd 11257 . . . . . 6
223blopn 20766 . . . . . 6
236, 14, 21, 22syl3anc 1228 . . . . 5
2423ralrimiva 2878 . . . 4
25 iunopn 19202 . . . 4
265, 24, 25syl2anc 661 . . 3
271, 26syl5eqel 2559 . 2
28 blcntr 20679 . . . . . . 7
296, 14, 20, 28syl3anc 1228 . . . . . 6
3029snssd 4172 . . . . 5
3130ralrimiva 2878 . . . 4
32 ss2iun 4341 . . . 4
3331, 32syl 16 . . 3
34 iunid 4380 . . . 4
3534eqcomi 2480 . . 3
3633, 35, 13sstr4g 3545 . 2
3727, 36jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cif 3939  csn 4027  cuni 4245  ciun 4325   class class class wbr 4447   cmpt 4505  ccnv 4998   crn 5000  cfv 5588  (class class class)co 6284  csup 7900  cc0 9492  c1 9493  cxr 9627   clt 9628   cle 9629   cdiv 10206  c2 10585  crp 11220  cxmt 18202  cbl 18204  cmopn 18207  ctop 19189  ccld 19311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  21128
 Copyright terms: Public domain W3C validator