MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem2 21234
Description: Lemma for metnrm 21236. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, D    t, J, y    ph, t    t, T, x, y    t, S, x, y    t, X, x, y    t, F
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    U( x, y, t)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
2 metnrmlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 metdscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopntop 20813 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
62adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
8 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98cldss 19400 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
113mopnuni 20814 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
122, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1310, 12sseqtr4d 3524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
1413sselda 3487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 21232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
1918simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR+ )
2120rpxrd 11263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR* )
223blopn 20873 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )  ->  ( t (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
236, 14, 21, 22syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
2423ralrimiva 2855 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
25 iunopn 19277 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )  ->  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
265, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
271, 26syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
28 blcntr 20786 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
296, 14, 20, 28syl3anc 1227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
3029snssd 4157 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  { t }  C_  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3130ralrimiva 2855 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  { t }  C_  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
32 ss2iun 4328 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  {
t }  C_  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3331, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
34 iunid 4367 . . . 4  |-  U_ t  e.  T  { t }  =  T
3534eqcomi 2454 . . 3  |-  T  = 
U_ t  e.  T  { t }
3633, 35, 13sstr4g 3528 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
3727, 36jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    i^i cin 3458    C_ wss 3459   (/)c0 3768   ifcif 3923   {csn 4011   U.cuni 4231   U_ciun 4312   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   `'ccnv 4985   ran crn 4987   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   supcsup 7899   0cc0 9492   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10209   2c2 10588   RR+crp 11226   *Metcxmt 18274   ballcbl 18276   MetOpencmopn 18279   Topctop 19264   Clsdccld 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-icc 11542  df-topgen 14715  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  21235
  Copyright terms: Public domain W3C validator