MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem2 20441
Description: Lemma for metnrm 20443. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, D    t, J, y    ph, t    t, T, x, y    t, S, x, y    t, X, x, y    t, F
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    U( x, y, t)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
2 metnrmlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 metdscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopntop 20020 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
62adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98cldss 18638 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
113mopnuni 20021 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
122, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1310, 12sseqtr4d 3398 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
1413sselda 3361 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 20439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
1918simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11044 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR+ )
2120rpxrd 11033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR* )
223blopn 20080 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )  ->  ( t (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
236, 14, 21, 22syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
2423ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
25 iunopn 18516 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )  ->  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
265, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
271, 26syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
28 blcntr 19993 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
296, 14, 20, 28syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
3029snssd 4023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  { t }  C_  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3130ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  { t }  C_  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
32 ss2iun 4191 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  {
t }  C_  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3331, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
34 iunid 4230 . . . 4  |-  U_ t  e.  T  { t }  =  T
3534eqcomi 2447 . . 3  |-  T  = 
U_ t  e.  T  { t }
3633, 35, 13sstr4g 3402 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
3727, 36jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   {csn 3882   U.cuni 4096   U_ciun 4176   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ran crn 4846   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   0cc0 9287   1c1 9288   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    / cdiv 9998   2c2 10376   RR+crp 10996   *Metcxmt 17806   ballcbl 17808   MetOpencmopn 17811   Topctop 18503   Clsdccld 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  20442
  Copyright terms: Public domain W3C validator