MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem1a 21230
Description: Lemma for metnrm 21234. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, T, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( S  i^i  T )  =  (/) )
3 inelcm 3886 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  A  e.  T )  ->  ( S  i^i  T
)  =/=  (/) )
43expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  ( A  e.  S  ->  ( S  i^i  T )  =/=  (/) ) )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( A  e.  S  ->  ( S  i^i  T )  =/=  (/) ) )
65necon2bd 2682 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( S  i^i  T
)  =  (/)  ->  -.  A  e.  S )
)
72, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  -.  A  e.  S )
8 eqcom 2476 . . . . . 6  |-  ( 0  =  ( F `  A )  <->  ( F `  A )  =  0 )
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
1413cldss 19398 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
1512, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  C_ 
U. J )
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716mopnuni 20812 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1810, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  X  =  U. J )
1915, 18sseqtr4d 3546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  C_  X )
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  e.  ( Clsd `  J
) )
2213cldss 19398 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  C_ 
U. J )
2423, 18sseqtr4d 3546 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  X )
25 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2624, 25sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  X )
27 metdscn.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827, 16metdseq0 21226 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
2910, 19, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( F `  A
)  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
308, 29syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  =  ( F `
 A )  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
31 cldcls 19411 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
3212, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  =  S )
3332eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A  e.  S ) )
3430, 33bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  =  ( F `
 A )  <->  A  e.  S ) )
357, 34mtbird 301 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  -.  0  =  ( F `  A ) )
3627metdsf 21220 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
3710, 19, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
3837, 26ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
39 elxrge0 11641 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
4039simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
4138, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  A
) )
42 0xr 9652 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4339simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
4438, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
45 xrleloe 11362 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
4642, 44, 45sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
4741, 46mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
4847ord 377 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( -.  0  <  ( F `
 A )  -> 
0  =  ( F `
 A ) ) )
4935, 48mt3d 125 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <  ( F `  A
) )
50 1re 9607 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5150rexri 9658 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
52 ifcl 3987 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )
5351, 44, 52sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )
54 1red 9623 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  1  e.  RR )
55 0lt1 10087 . . . . . 6  |-  0  <  1
56 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( 1  =  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
( 0  <  1  <->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
57 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  =  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
( 0  <  ( F `  A )  <->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
5856, 57ifboth 3981 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <  1  /\  0  <  ( F `
 A ) )  ->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) )
5955, 49, 58sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <  if ( 1  <_ 
( F `  A
) ,  1 ,  ( F `  A
) ) )
60 xrltle 11367 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  ->  0  <_  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
6142, 53, 60sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
0  <_  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
6259, 61mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <_  if ( 1  <_ 
( F `  A
) ,  1 ,  ( F `  A
) ) )
63 xrmin1 11390 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 )
6451, 44, 63sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 )
65 xrrege0 11387 . . . 4  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e. 
RR*  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 ) )  ->  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR )
6653, 54, 62, 64, 65syl22anc 1229 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR )
6766, 59elrpd 11266 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
6849, 67jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   RR+crp 11232   [,]cicc 11544   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278   Clsdccld 19385   clsccl 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  21232  metnrmlem3  21233
  Copyright terms: Public domain W3C validator