Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem1 21231
 Description: Lemma for metnrm 21234. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9607 . . . 4
21rexri 9658 . . 3
3 metnrmlem.1 . . . . . . 7
43adantr 465 . . . . . 6
5 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9
65adantr 465 . . . . . . . 8
7 eqid 2467 . . . . . . . . 9
87cldss 19398 . . . . . . . 8
96, 8syl 16 . . . . . . 7
10 metdscn.j . . . . . . . . 9
1110mopnuni 20812 . . . . . . . 8
124, 11syl 16 . . . . . . 7
139, 12sseqtr4d 3546 . . . . . 6
14 metdscn.f . . . . . . 7
1514metdsf 21220 . . . . . 6
164, 13, 15syl2anc 661 . . . . 5
17 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9
1817adantr 465 . . . . . . . 8
197cldss 19398 . . . . . . . 8
2018, 19syl 16 . . . . . . 7
2120, 12sseqtr4d 3546 . . . . . 6
22 simprr 756 . . . . . 6
2321, 22sseldd 3510 . . . . 5
2416, 23ffvelrnd 6033 . . . 4
25 elxrge0 11641 . . . . 5
2625simplbi 460 . . . 4
2724, 26syl 16 . . 3
28 ifcl 3987 . . 3
292, 27, 28sylancr 663 . 2
30 simprl 755 . . . 4
3113, 30sseldd 3510 . . 3
32 xmetcl 20702 . . 3
334, 31, 23, 32syl3anc 1228 . 2
34 xrmin2 11391 . . 3
352, 27, 34sylancr 663 . 2
3614metdstri 21223 . . . 4
374, 13, 23, 31, 36syl22anc 1229 . . 3
38 xmetsym 20718 . . . . . 6
394, 23, 31, 38syl3anc 1228 . . . . 5
4014metds0 21222 . . . . . 6
414, 13, 30, 40syl3anc 1228 . . . . 5
4239, 41oveq12d 6313 . . . 4
43 xaddid1 11450 . . . . 5
4433, 43syl 16 . . . 4
4542, 44eqtrd 2508 . . 3
4637, 45breqtrd 4477 . 2
4729, 27, 33, 35, 46xrletrd 11377 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cin 3480   wss 3481  c0 3790  cif 3945  cuni 4251   class class class wbr 4453   cmpt 4511  ccnv 5004   crn 5006  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cc0 9504  c1 9505   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cxad 11328  cicc 11544  cxmt 18273  cmopn 18278  ccld 19385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  21233
 Copyright terms: Public domain W3C validator