Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem1 21862
 Description: Lemma for metnrm 21880. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f inf
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9642 . . . 4
21rexri 9693 . . 3
3 metnrmlem.1 . . . . . . 7
43adantr 466 . . . . . 6
5 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9
65adantr 466 . . . . . . . 8
7 eqid 2422 . . . . . . . . 9
87cldss 20030 . . . . . . . 8
96, 8syl 17 . . . . . . 7
10 metdscn.j . . . . . . . . 9
1110mopnuni 21442 . . . . . . . 8
124, 11syl 17 . . . . . . 7
139, 12sseqtr4d 3501 . . . . . 6
14 metdscn.f . . . . . . 7 inf
1514metdsf 21851 . . . . . 6
164, 13, 15syl2anc 665 . . . . 5
17 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9
1817adantr 466 . . . . . . . 8
197cldss 20030 . . . . . . . 8
2018, 19syl 17 . . . . . . 7
2120, 12sseqtr4d 3501 . . . . . 6
22 simprr 764 . . . . . 6
2321, 22sseldd 3465 . . . . 5
2416, 23ffvelrnd 6034 . . . 4
25 elxrge0 11741 . . . . 5
2625simplbi 461 . . . 4
2724, 26syl 17 . . 3
28 ifcl 3951 . . 3
292, 27, 28sylancr 667 . 2
30 simprl 762 . . . 4
3113, 30sseldd 3465 . . 3
32 xmetcl 21332 . . 3
334, 31, 23, 32syl3anc 1264 . 2
34 xrmin2 11473 . . 3
352, 27, 34sylancr 667 . 2
3614metdstri 21854 . . . 4
374, 13, 23, 31, 36syl22anc 1265 . . 3
38 xmetsym 21348 . . . . . 6
394, 23, 31, 38syl3anc 1264 . . . . 5
4014metds0 21853 . . . . . 6
414, 13, 30, 40syl3anc 1264 . . . . 5
4239, 41oveq12d 6319 . . . 4
43 xaddid1 11532 . . . . 5
4433, 43syl 17 . . . 4
4542, 44eqtrd 2463 . . 3
4637, 45breqtrd 4445 . 2
4729, 27, 33, 35, 46xrletrd 11459 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868   cin 3435   wss 3436  c0 3761  cif 3909  cuni 4216   class class class wbr 4420   cmpt 4479   crn 4850  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957  cc0 9539  c1 9540   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676  cxad 11407  cicc 11638  cxmt 18942  cmopn 18947  ccld 20017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-ec 7369  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cld 20020 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  21864
 Copyright terms: Public domain W3C validator