MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Structured version   Unicode version

Theorem metnrm 21234
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metnrm  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables  t 
s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 20811 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
5 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  (
Clsd `  J )
)
6 simp2r 1023 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  (
Clsd `  J )
)
7 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  U_ s  e.  y  ( s
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) )  / 
2 ) )  = 
U_ s  e.  y  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) )  /  2
) )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) )  / 
2 ) )  = 
U_ t  e.  x  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) )  /  2
) )
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 21233 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
12113expia 1198 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2888 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
14 isnrm3 19728 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 664 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   U_ciun 4331   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   1c1 9505   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   2c2 10597   *Metcxmt 18273   ballcbl 18275   MetOpencmopn 18278   Topctop 19263   Clsdccld 19385   Nrmcnrm 19679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nrm 19686
This theorem is referenced by:  metreg  21235
  Copyright terms: Public domain W3C validator