MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Structured version   Unicode version

Theorem metnrm 20453
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metnrm  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables  t 
s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 20030 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
5 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  (
Clsd `  J )
)
6 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  (
Clsd `  J )
)
7 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  U_ s  e.  y  ( s
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) )  / 
2 ) )  = 
U_ s  e.  y  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) )  /  2
) )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) )  / 
2 ) )  = 
U_ t  e.  x  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) )  /  2
) )
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 20452 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
12113expia 1189 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2823 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
14 isnrm3 18978 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 664 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   E.wrex 2731    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   ifcif 3806   U_ciun 4186   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   `'ccnv 4854   ran crn 4856   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supcsup 7705   1c1 9298   RR*cxr 9432    < clt 9433    <_ cle 9434    / cdiv 10008   2c2 10386   *Metcxmt 17816   ballcbl 17818   MetOpencmopn 17821   Topctop 18513   Clsdccld 18635   Nrmcnrm 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-ec 7118  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-icc 11322  df-topgen 14397  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nrm 18936
This theorem is referenced by:  metreg  20454
  Copyright terms: Public domain W3C validator