Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metidval Structured version   Unicode version

Theorem metidval 28335
 Description: Value of the metric identification relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metidval PsMet ~Met
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem metidval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-metid 28333 . . 3 ~Met PsMet
21a1i 11 . 2 PsMet ~Met PsMet
3 simpr 461 . . . . . . . . 9 PsMet
43dmeqd 5028 . . . . . . . 8 PsMet
54dmeqd 5028 . . . . . . 7 PsMet
6 psmetdmdm 21103 . . . . . . . 8 PsMet
76adantr 465 . . . . . . 7 PsMet
85, 7eqtr4d 2448 . . . . . 6 PsMet
98eleq2d 2474 . . . . 5 PsMet
108eleq2d 2474 . . . . 5 PsMet
119, 10anbi12d 711 . . . 4 PsMet
123oveqd 6297 . . . . 5 PsMet
1312eqeq1d 2406 . . . 4 PsMet
1411, 13anbi12d 711 . . 3 PsMet
1514opabbidv 4460 . 2 PsMet
16 elfvdm 5877 . . . 4 PsMet PsMet
17 fveq2 5851 . . . . . 6 PsMet PsMet
1817eleq2d 2474 . . . . 5 PsMet PsMet
1918rspcev 3162 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
2016, 19mpancom 669 . . 3 PsMet PsMet PsMet
21 df-psmet 18733 . . . . 5 PsMet
2221funmpt2 5608 . . . 4 PsMet
23 elunirn 6146 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
2422, 23ax-mp 5 . . 3 PsMet PsMet PsMet
2520, 24sylibr 214 . 2 PsMet PsMet
26 opabssxp 4900 . . 3
27 elfvex 5878 . . . 4 PsMet
28 xpexg 6586 . . . 4
2927, 27, 28syl2anc 661 . . 3 PsMet
30 ssexg 4542 . . 3
3126, 29, 30sylancr 663 . 2 PsMet
322, 15, 25, 31fvmptd 5940 1 PsMet ~Met
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3061   wss 3416  cuni 4193   class class class wbr 4397  copab 4454   cmpt 4455   cxp 4823   cdm 4825   crn 4826   wfun 5565  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmap 7459  cc0 9524  cxr 9659   cle 9661  cxad 11371  PsMetcpsmet 18724  ~Metcmetid 28331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-xr 9664  df-psmet 18733  df-metid 28333 This theorem is referenced by:  metidss  28336  metidv  28337
 Copyright terms: Public domain W3C validator