Theorem metidcn 9178

Description: The identity function is continuous (metric space version of idcn 9042).

Hypotheses

Ref	Expression
metidcn.1	|- X = dom dom C
metidcn.3	|- J = (Open` C)
metidcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metidcn	|- ((C e. Met /\ D e. Met /\ C C_ D) -> ( _I |` X) e. (J Cn K))

Proof of Theorem metidcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metidcn.3	. . . . 5 |- J = (Open` C)
2		metidcn.4	. . . . 5 |- K = (Open` D)
3	1, 1, 2	metcnss 9176	. . . 4 |- (((C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (J Cn J) C_ (J Cn K))
4		id 73	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) -> (C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met))
5	4	3anidm12 1154	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (C e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met))
6	3, 5	sylan 497	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (J Cn J) C_ (J Cn K))
7	6	3impa 1062	. 2 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ C C_ D) -> (J Cn J) C_ (J Cn K))
8		metidcn.1	. . . . . 6 |- X = dom dom C
9	8, 1	uniopn2 9138	. . . . 5 |- (C e. Met -> U.J = X)
10		reseq2 4219	. . . . 5 |- (U.J = X -> ( _I |` U.J) = ( _I |` X))
11	9, 10	syl 12	. . . 4 |- (C e. Met -> ( _I |` U.J) = ( _I |` X))
12	1	opntop 9147	. . . . 5 |- (C e. Met -> J e. Top)
13		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.J = U.J
14	13	idcn 9042	. . . . 5 |- (J e. Top -> ( _I |` U.J) e. (J Cn J))
15	12, 14	syl 12	. . . 4 |- (C e. Met -> ( _I |` U.J) e. (J Cn J))
16	11, 15	eqeltrrd 1972	. . 3 |- (C e. Met -> ( _I |` X) e. (J Cn J))
17	16	3ad2ant1 897	. 2 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ C C_ D) -> ( _I |` X) e. (J Cn J))
18	7, 17	sseldd 2620	1 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ C C_ D) -> ( _I |` X) e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  U.cuni 3177   _I cid 3582  dom cdm 3986   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  opr1scn 9258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain