Theorem methausi 9159

Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. Remark in [Munkres] p. 126.

Hypotheses

Ref	Expression
methausi.1	|- D e. Met
methausi.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
methausi	|- J e. Haus

Proof of Theorem methausi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		methausi.1	. . . 4 |- D e. Met
2		eqid 1884	. . . . 5 |- dom dom D = dom dom D
3		methausi.2	. . . . 5 |- J = (Open` D)
4	2, 3	uniopn2 9138	. . . 4 |- (D e. Met -> U.J = dom dom D)
5	1, 4	ax-mp 7	. . 3 |- U.J = dom dom D
6	5	eqcomi 1888	. 2 |- dom dom D = U.J
7	3	opntop 9147	. . 3 |- (D e. Met -> J e. Top)
8	1, 7	ax-mp 7	. 2 |- J e. Top
9		simp1 876	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> x e. dom dom D)
10	2	metcl 9088	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> (xDy) e. RR)
11	1, 10	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> (xDy) e. RR)
12		rehalfcl 7220	. . . . . 6 |- ((xDy) e. RR -> ((xDy) / 2) e. RR)
13	11, 12	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> ((xDy) / 2) e. RR)
14	13	3adant3 896	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> ((xDy) / 2) e. RR)
15	2	metgt0 9097	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> (x =/= y <-> 0 < (xDy)))
16	1, 15	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> (x =/= y <-> 0 < (xDy)))
17	16	biimp3a 1194	. . . . 5 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> 0 < (xDy))
18		halfpos2 7223	. . . . . . 7 |- ((xDy) e. RR -> (0 < (xDy) <-> 0 < ((xDy) / 2)))
19	11, 18	syl 12	. . . . . 6 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> (0 < (xDy) <-> 0 < ((xDy) / 2)))
20	19	3adant3 896	. . . . 5 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> (0 < (xDy) <-> 0 < ((xDy) / 2)))
21	17, 20	mpbid 212	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> 0 < ((xDy) / 2))
22	2, 3	blopn 9153	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> (x( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
23	1, 22	mpanl1 770	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> (x( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
24	9, 14, 21, 23	syl12anc 1098	. . 3 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> (x( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
25		simp2 877	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> y e. dom dom D)
26	2, 3	blopn 9153	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ y e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> (y( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
27	1, 26	mpanl1 770	. . . 4 |- ((y e. dom dom D /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> (y( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
28	25, 14, 21, 27	syl12anc 1098	. . 3 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> (y( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J)
29	2	blcntr 9122	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)))
30	1, 29	mpanl1 770	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)))
31	9, 14, 21, 30	syl12anc 1098	. . 3 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)))
32	2	blcntr 9122	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ y e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2)))
33	1, 32	mpanl1 770	. . . 4 |- ((y e. dom dom D /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2))) -> y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2)))
34	25, 14, 21, 33	syl12anc 1098	. . 3 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2)))
35		3simpa 872	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> (x e. dom dom D /\ y e. dom dom D))
36		leid 6701	. . . . . 6 |- (((xDy) / 2) e. RR -> ((xDy) / 2) <_ ((xDy) / 2))
37	13, 36	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) -> ((xDy) / 2) <_ ((xDy) / 2))
38	37	3adant3 896	. . . 4 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> ((xDy) / 2) <_ ((xDy) / 2))
39	2	bl2in 9120	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2) /\ ((xDy) / 2) <_ ((xDy) / 2))) -> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/))
40	1, 39	mp3anl1 1185	. . . 4 |- (((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D) /\ (((xDy) / 2) e. RR /\ 0 < ((xDy) / 2) /\ ((xDy) / 2) <_ ((xDy) / 2))) -> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/))
41	35, 14, 21, 38, 40	syl13anc 1102	. . 3 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/))
42		eleq2 1958	. . . . 5 |- (n = (x( ball ` D)((xDy) / 2)) -> (x e. n <-> x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2))))
43		ineq1 2789	. . . . . 6 |- (n = (x( ball ` D)((xDy) / 2)) -> (n i^i m) = ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m))
44	43	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (n = (x( ball ` D)((xDy) / 2)) -> ((n i^i m) = (/) <-> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m) = (/)))
45	42, 44	3anbi13d 1170	. . . 4 |- (n = (x( ball ` D)((xDy) / 2)) -> ((x e. n /\ y e. m /\ (n i^i m) = (/)) <-> (x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ y e. m /\ ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m) = (/))))
46		eleq2 1958	. . . . 5 |- (m = (y( ball ` D)((xDy) / 2)) -> (y e. m <-> y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2))))
47		ineq2 2790	. . . . . 6 |- (m = (y( ball ` D)((xDy) / 2)) -> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m) = ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))))
48	47	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (m = (y( ball ` D)((xDy) / 2)) -> (((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m) = (/) <-> ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/)))
49	46, 48	3anbi23d 1171	. . . 4 |- (m = (y( ball ` D)((xDy) / 2)) -> ((x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ y e. m /\ ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i m) = (/)) <-> (x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/))))
50	45, 49	rcla42ev 2385	. . 3 |- (((x( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J /\ (y( ball ` D)((xDy) / 2)) e. J /\ (x e. (x( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ y e. (y( ball ` D)((xDy) / 2)) /\ ((x( ball ` D)((xDy) / 2)) i^i (y( ball ` D)((xDy) / 2))) = (/))) -> E.n e. J E.m e. J (x e. n /\ y e. m /\ (n i^i m) = (/)))
51	24, 28, 31, 34, 41, 50	syl113anc 1112	. 2 |- ((x e. dom dom D /\ y e. dom dom D /\ x =/= y) -> E.n e. J E.m e. J (x e. n /\ y e. m /\ (n i^i m) = (/)))
52	6, 8, 51	ishausi 9062	1 |- J e. Haus

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   i^i cin 2592  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  Topctop 8857  Hauscha 9058  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  methaus 9160  rehaus 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-top 8861  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

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