Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metf1o Structured version   Unicode version

Theorem metf1o 30078
Description: Use a bijection with a metric space to construct a metric on a set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
metf1o.2  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
metf1o  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, X, y    x, Y, y    x, F, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem metf1o
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 5816 . . . . . . 7  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y
--> X )
2 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  x
)  e.  X )
32ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( x  e.  Y  ->  ( F `  x
)  e.  X ) )
4 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  y
)  e.  X )
54ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  Y  ->  ( F `  y
)  e.  X ) )
63, 5anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X ) ) )
71, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y
)  e.  X ) ) )
8 metcl 20662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR )
983expib 1199 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
107, 9sylan9r 658 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
11103adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
1211ralrimivv 2884 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR )
13 metf1o.2 . . . 4  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
1413fmpt2 6852 . . 3  |-  ( A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR  <->  N :
( Y  X.  Y
) --> RR )
1512, 14sylib 196 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR )
16 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
1716oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  y
) ) )
18 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
1918oveq2d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
20 ovex 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
2117, 19, 13, 20ovmpt2 6423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u N v )  =  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) ) )
2221eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
24 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  u
)  e.  X )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( u  e.  Y  ->  ( F `  u
)  e.  X ) )
26 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  v
)  e.  X )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( v  e.  Y  ->  ( F `  v
)  e.  X ) )
2825, 27anim12d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) ) )
291, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )
3130adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )
32 meteq0 20669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  (
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
33323expb 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
3433adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
3531, 34syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
36 f1of1 5815 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y -1-1-> X )
37 f1fveq 6159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3836, 37sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3938adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
u  =  v ) )
4023, 35, 393bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v ) )
41 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Y --> X  /\  w  e.  Y )  ->  ( F `  w
)  e.  X )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  -> 
( w  e.  Y  ->  ( F `  w
)  e.  X ) )
4328, 42anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u )  e.  X  /\  ( F `
 v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )
47 mettri2 20671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_  ( (
( F `  w
) M ( F `
 u ) )  +  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) ) )
4847expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  ( M  e.  ( Met `  X )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) ) )
49483expb 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5049ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5150impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5251adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  <_  (
( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5346, 52syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5453anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5521adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
56 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
5756oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  y
) ) )
58 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
5958oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
60 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  e. 
_V
6157, 59, 13, 60ovmpt2 6423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6261ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6362adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N u )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
6418oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
65 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
6657, 64, 13, 65ovmpt2 6423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6766ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6867adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N v )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
6963, 68oveq12d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( w N u )  +  ( w N v ) )  =  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
7055, 69breq12d 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7170adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7254, 71mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) )
7372ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  ->  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) ) )
7440, 73jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( u N v )  =  0  <->  u  =  v
)  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_ 
( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
75743adantl1 1152 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
7675ex 434 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) )
7776ralrimivv 2884 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
78 ismet 20653 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
79783ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
8015, 77, 79mpbir2and 920 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   RRcr 9492   0cc0 9493    + caddc 9496    <_ cle 9630   Metcme 18215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-mulcl 9555  ax-i2m1 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-xadd 11320  df-xmet 18223  df-met 18224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator