MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metf Structured version   Unicode version

Theorem metf 19904
Description: Mapping of the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metf  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )

Proof of Theorem metf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metflem 19902 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
21simpld 459 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   class class class wbr 4291    X. cxp 4837   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281    + caddc 9284    <_ cle 9418   Metcme 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7215  df-met 17810
This theorem is referenced by:  metcl  19906  metn0  19934  metres2  19937  metres  19939  msf  20032  isngp3  20189  tngngp2  20237  xrsdsre  20386  metdcn2  20415  cncms  20866  cnrrext  26438  isbnd3  28681  isbnd3b  28682  ssbnd  28685  bnd2lem  28688  prdsbnd  28690
  Copyright terms: Public domain W3C validator