MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metf Structured version   Unicode version

Theorem metf 20701
Description: Mapping of the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metf  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )

Proof of Theorem metf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metflem 20699 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
21simpld 459 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    <_ cle 9641   Metcme 18274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-met 18283
This theorem is referenced by:  metcl  20703  metn0  20731  metres2  20734  metres  20736  msf  20829  isngp3  20986  tngngp2  21034  xrsdsre  21183  metdcn2  21212  cncms  21663  cnrrext  27816  isbnd3  30207  isbnd3b  30208  ssbnd  30211  bnd2lem  30214  prdsbnd  30216
  Copyright terms: Public domain W3C validator