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Theorem metequiv2 21098
Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metequiv2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  J  =  K ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metequiv2
StepHypRef Expression
1 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  C
) s )  =  ( x ( ball `  D ) s ) )
2 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
3 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  x  e.  X )
4 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
54rpxrd 11178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  s  e.  RR* )
6 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
76rpxrd 11178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  r  e.  RR* )
8 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  s  <_  r )
9 ssbl 21011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  s  <_  r )  ->  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) )
102, 3, 5, 7, 8, 9syl221anc 1237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) )
111, 10eqsstr3d 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
13 ssbl 21011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  s  <_  r )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
1412, 3, 5, 7, 8, 13syl221anc 1237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
151, 14eqsstrd 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
1611, 15jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) ) ) )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )
1716expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )
)  ->  ( (
s  <_  r  /\  ( x ( ball `  C ) s )  =  ( x (
ball `  D )
s ) )  -> 
( ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  ( x ( ball `  C ) s ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) ) )
1817anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
s )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) ) )
1918reximdva 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  RR+  ( s  <_  r  /\  ( x ( ball `  C ) s )  =  ( x (
ball `  D )
s ) )  ->  E. s  e.  RR+  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) ) )
20 r19.40 2933 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  RR+  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) s ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
2119, 20syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  RR+  ( s  <_  r  /\  ( x ( ball `  C ) s )  =  ( x (
ball `  D )
s ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) ) )
2221ralimdva 2790 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  C
) s )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) ) )
23 r19.26 2909 . . . 4  |-  ( A. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) s ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )  <->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
s )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
2422, 23syl6ib 226 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
s )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) ) )
2524ralimdva 2790 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  A. x  e.  X  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) s ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) ) )
26 metequiv.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
27 metequiv.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
2826, 27metequiv 21097 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  =  K  <->  A. x  e.  X  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  /\  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
s )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) ) )
2925, 28sylibrd 234 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( x
( ball `  C )
s )  =  ( x ( ball `  D
) s ) )  ->  J  =  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RR*cxr 9538    <_ cle 9540   RR+crp 11139   *Metcxmt 18516   ballcbl 18518   MetOpencmopn 18521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-bases 19486
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  21106
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