Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdstriOLD Structured version   Unicode version

Theorem metdstriOLD 21881
 Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) Obsolete version of metdstri 21866 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscnOLD.f
Assertion
Ref Expression
metdstriOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdstriOLD
StepHypRef Expression
1 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12
2 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12
3 rexsub 11533 . . . . . . . . . . . 12
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
54oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10
6 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12
76adantr 466 . . . . . . . . . . 11
8 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12
98adantr 466 . . . . . . . . . . 11
10 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12
1110adantr 466 . . . . . . . . . . 11
121, 2resubcld 10054 . . . . . . . . . . 11
132leidd 10187 . . . . . . . . . . . 12
14 xmetsym 21360 . . . . . . . . . . . . . . 15
156, 10, 8, 14syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
1716eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . 12
181recnd 9676 . . . . . . . . . . . . 13
192recnd 9676 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19nncand 9998 . . . . . . . . . . . 12
2113, 17, 203brtr4d 4454 . . . . . . . . . . 11
22 blss2 21417 . . . . . . . . . . 11
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1279 . . . . . . . . . 10
245, 23eqsstrd 3498 . . . . . . . . 9
2524expr 618 . . . . . . . 8
266adantr 466 . . . . . . . . . . 11
278adantr 466 . . . . . . . . . . 11
28 metdscnOLD.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928metdsfOLD 21878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130, 10ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 elxrge0 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
36 xmetcl 21344 . . . . . . . . . . . . . . . 16
376, 10, 8, 36syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
3938xnegcld 11593 . . . . . . . . . . . . 13
4035, 39xaddcld 11594 . . . . . . . . . . . 12
4140adantrr 721 . . . . . . . . . . 11
42 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . 12
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11
44 pnfge 11439 . . . . . . . . . . . 12
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11
46 ssbl 21436 . . . . . . . . . . 11
4726, 27, 41, 43, 45, 46syl221anc 1275 . . . . . . . . . 10
48 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11
5010adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
51 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13
52 xblpnf 21409 . . . . . . . . . . . . . 14
5326, 50, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13
5427, 51, 53mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . 12
55 blpnfctr 21449 . . . . . . . . . . . 12
5626, 50, 54, 55syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
5749, 56eqtr2d 2464 . . . . . . . . . 10
5847, 57sseqtrd 3500 . . . . . . . . 9
5958expr 618 . . . . . . . 8
6032simprbi 465 . . . . . . . . . . . . 13
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12
62 ge0nemnf 11475 . . . . . . . . . . . 12
6334, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
6434, 63jca 534 . . . . . . . . . 10
6564adantr 466 . . . . . . . . 9
66 xrnemnf 11426 . . . . . . . . 9
6765, 66sylib 199 . . . . . . . 8
6825, 59, 67mpjaod 382 . . . . . . 7
69 pnfnlt 11437 . . . . . . . . . . 11
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . 10
7170adantr 466 . . . . . . . . 9
7237xnegcld 11593 . . . . . . . . . . . . . 14
7334, 72xaddcld 11594 . . . . . . . . . . . . 13
74 xbln0 21427 . . . . . . . . . . . . 13
756, 8, 73, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
76 xposdif 11555 . . . . . . . . . . . . 13
7737, 34, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
7875, 77bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11
79 breq1 4426 . . . . . . . . . . 11
8078, 79sylan9bb 704 . . . . . . . . . 10
8180necon1bbid 2670 . . . . . . . . 9
8271, 81mpbid 213 . . . . . . . 8
83 0ss 3793 . . . . . . . 8
8482, 83syl6eqss 3514 . . . . . . 7
85 xmetge0 21357 . . . . . . . . . . 11
866, 10, 8, 85syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
87 ge0nemnf 11475 . . . . . . . . . 10
8837, 86, 87syl2anc 665 . . . . . . . . 9
8937, 88jca 534 . . . . . . . 8
90 xrnemnf 11426 . . . . . . . 8
9189, 90sylib 199 . . . . . . 7
9268, 84, 91mpjaodan 793 . . . . . 6
93 sslin 3688 . . . . . 6
9492, 93syl 17 . . . . 5
95 xrleid 11456 . . . . . . 7
9634, 95syl 17 . . . . . 6
97 simplr 760 . . . . . . 7
9828metdsgeOLD 21879 . . . . . . 7
996, 97, 10, 34, 98syl31anc 1267 . . . . . 6
10096, 99mpbid 213 . . . . 5
101 sseq0 3796 . . . . 5
10294, 100, 101syl2anc 665 . . . 4
10328metdsgeOLD 21879 . . . . 5
1046, 97, 8, 73, 103syl31anc 1267 . . . 4
105102, 104mpbird 235 . . 3
10630, 8ffvelrnd 6038 . . . . 5
107 elxrge0 11748 . . . . . 6
108107simplbi 461 . . . . 5
109106, 108syl 17 . . . 4
110107simprbi 465 . . . . 5
111106, 110syl 17 . . . 4
112 xlesubadd 11556 . . . 4
11334, 37, 109, 61, 88, 111, 112syl33anc 1279 . . 3
114105, 113mpbid 213 . 2
115 xaddcom 11538 . . 3
116109, 37, 115syl2anc 665 . 2
117114, 116breqtrd 4448 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614   cin 3435   wss 3436  c0 3761   class class class wbr 4423   cmpt 4482  ccnv 4852   crn 4854  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cr 9545  cc0 9546   cpnf 9679   cmnf 9680  cxr 9681   clt 9682   cle 9683   cmin 9867   cxne 11413  cxad 11414  cicc 11645  cxmt 18954  cbl 18956 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-ec 7376  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-2 10675  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-bl 18964 This theorem is referenced by:  metdsleOLD  21882  metdscnlemOLD  21885  metnrmlem1OLD  21889
 Copyright terms: Public domain W3C validator