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Theorem metdstri 21480
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol  d denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written  d ( a ,  S )  <_ 
d ( a ,  b )  +  d ( b ,  S
). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
metdstri  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    x, B, y    x, S, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
3 rexsub 11457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
54oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  =  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
8 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  B  e.  X )
10 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  A  e.  X )
121, 2resubcld 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( A D B ) )  e.  RR )
132leidd 10140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  <_  ( A D B ) )
14 xmetsym 20975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
156, 10, 8, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1716eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B D A )  =  ( A D B ) )
181recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( F `  A
)  e.  CC )
192recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  e.  CC )
2018, 19nncand 9955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) )  =  ( A D B ) )
2113, 17, 203brtr4d 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B D A )  <_  ( ( F `  A )  -  ( ( F `
 A )  -  ( A D B ) ) ) )
22 blss2 21032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
( F `  A
)  -  ( A D B ) )  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( B D A )  <_ 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) ) ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
245, 23eqsstrd 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
2524expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e.  RR  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) ) )
266adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
278adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  B  e.  X )
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928metdsf 21477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
3130, 10ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 elxrge0 11654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
3332simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
3431, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
36 xmetcl 20959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
376, 10, 8, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( A D B )  e.  RR* )
3938xnegcld 11517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  -e ( A D B )  e. 
RR* )
4035, 39xaddcld 11518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  e.  RR* )
4140adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )
42 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
44 pnfge 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR*  ->  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )
46 ssbl 21051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  B  e.  X )  /\  (
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
) +oo ) )
4726, 27, 41, 43, 45, 46syl221anc 1239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
) +oo ) )
48 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( F `  A
)  = +oo )
4948oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  =  ( A (
ball `  D ) +oo ) )
5010adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  A  e.  X )
51 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
52 xblpnf 21024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D ) +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5326, 50, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B  e.  ( A ( ball `  D
) +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5427, 51, 53mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  B  e.  ( A
( ball `  D ) +oo ) )
55 blpnfctr 21064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  ( A ( ball `  D
) +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) +oo )  =  ( B (
ball `  D ) +oo ) )
5626, 50, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) +oo )  =  ( B (
ball `  D ) +oo ) )
5749, 56eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) +oo )  =  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
5847, 57sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5958expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  = +oo  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) ) )
6032simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
6131, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  A ) )
62 ge0nemnf 11399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  A
) )  ->  ( F `  A )  =/= -oo )
6334, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  =/= -oo )
6434, 63jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/= -oo )
)
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  ( F `  A )  =/= -oo ) )
66 xrnemnf 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  ( F `  A )  =/= -oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = +oo ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = +oo ) )
6825, 59, 67mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
69 pnfnlt 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  -. +oo  <  ( F `  A
) )
7034, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -. +oo  <  ( F `  A ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  -. +oo  <  ( F `  A )
)
7237xnegcld 11517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -e ( A D B )  e.  RR* )
7334, 72xaddcld 11518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )
74 xbln0 21042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  ( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )  ->  (
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  =/=  (/) 
<->  0  <  ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )
756, 8, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  0  <  (
( F `  A
) +e  -e ( A D B ) ) ) )
76 xposdif 11479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  0  <  ( ( F `  A
) +e  -e ( A D B ) ) ) )
7737, 34, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  <  ( F `  A )  <->  0  <  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )
7875, 77bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  ( A D B )  <  ( F `  A )
) )
79 breq1 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A D B )  = +oo  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <-> +oo  <  ( F `  A )
) )
8078, 79sylan9bb 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <-> +oo  <  ( F `  A )
) )
8180necon1bbid 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( -. +oo  <  ( F `  A
)  <->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =  (/) ) )
8271, 81mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =  (/) )
83 0ss 3823 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )
8482, 83syl6eqss 3549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
85 xmetge0 20972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
866, 10, 8, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
87 ge0nemnf 11399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A D B ) )  ->  ( A D B )  =/= -oo )
8837, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =/= -oo )
8937, 88jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= -oo )
)
90 xrnemnf 11353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= -oo )  <->  ( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = +oo ) )
9189, 90sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = +oo )
)
9268, 84, 91mpjaodan 786 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
93 sslin 3720 . . . . . 6  |-  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
95 xrleid 11381 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
9634, 95syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( F `  A ) )
97 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  S  C_  X )
9828metdsge 21478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
996, 97, 10, 34, 98syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
10096, 99mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )
101 sseq0 3826 . . . . 5  |-  ( ( ( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  /\  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )  ->  ( S  i^i  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10294, 100, 101syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10328metdsge 21478 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
1046, 97, 8, 73, 103syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
105102, 104mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
) )
10630, 8ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107 elxrge0 11654 . . . . . 6  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  B ) ) )
108107simplbi 460 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 B )  e. 
RR* )
109106, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR* )
110107simprbi 464 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  B
) )
111106, 110syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  B ) )
112 xlesubadd 11480 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  B )  e.  RR* )  /\  (
0  <_  ( F `  A )  /\  ( A D B )  =/= -oo  /\  0  <_  ( F `  B )
) )  ->  (
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
)  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) +e ( A D B ) ) ) )
11334, 37, 109, 61, 88, 111, 112syl33anc 1243 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) +e ( A D B ) ) ) )
114105, 113mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( F `  B ) +e ( A D B ) ) )
115 xaddcom 11462 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  B
) +e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( F `
 B ) ) )
116109, 37, 115syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  B ) +e
( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
117114, 116breqtrd 4480 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    -ecxne 11340   +ecxad 11341   [,]cicc 11557   *Metcxmt 18529   ballcbl 18531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-bl 18540
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