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Theorem metdstri 21779
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol  d denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written  d ( a ,  S )  <_ 
d ( a ,  b )  +  d ( b ,  S
). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
metdstri  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    x, B, y    x, S, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
3 rexsub 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
54oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  =  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
6 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
76adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
8 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
98adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  B  e.  X )
10 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
1110adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  ->  A  e.  X )
121, 2resubcld 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( A D B ) )  e.  RR )
132leidd 10179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  <_  ( A D B ) )
14 xmetsym 21293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
156, 10, 8, 14syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1716eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B D A )  =  ( A D B ) )
181recnd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( F `  A
)  e.  CC )
192recnd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( A D B )  e.  CC )
2018, 19nncand 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) )  =  ( A D B ) )
2113, 17, 203brtr4d 4456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B D A )  <_  ( ( F `  A )  -  ( ( F `
 A )  -  ( A D B ) ) ) )
22 blss2 21350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
( F `  A
)  -  ( A D B ) )  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( B D A )  <_ 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) ) ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
245, 23eqsstrd 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  e.  RR ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
2524expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e.  RR  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) ) )
266adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
278adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  B  e.  X )
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928metdsf 21776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
3130, 10ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 elxrge0 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
3332simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
36 xmetcl 21277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
376, 10, 8, 36syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( A D B )  e.  RR* )
3938xnegcld 11586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  -e ( A D B )  e. 
RR* )
4035, 39xaddcld 11587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  e.  RR* )
4140adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )
42 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
44 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR*  ->  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )
46 ssbl 21369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  B  e.  X )  /\  (
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ +oo )  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
) +oo ) )
4726, 27, 41, 43, 45, 46syl221anc 1275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
) +oo ) )
48 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( F `  A
)  = +oo )
4948oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  =  ( A (
ball `  D ) +oo ) )
5010adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  A  e.  X )
51 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A D B )  e.  RR )
52 xblpnf 21342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D ) +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5326, 50, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B  e.  ( A ( ball `  D
) +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5427, 51, 53mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  ->  B  e.  ( A
( ball `  D ) +oo ) )
55 blpnfctr 21382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  ( A ( ball `  D
) +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) +oo )  =  ( B (
ball `  D ) +oo ) )
5626, 50, 54, 55syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D ) +oo )  =  ( B (
ball `  D ) +oo ) )
5749, 56eqtr2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) +oo )  =  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
5847, 57sseqtrd 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `
 A )  = +oo ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5958expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  = +oo  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) ) )
6032simprbi 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  A ) )
62 ge0nemnf 11468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  A
) )  ->  ( F `  A )  =/= -oo )
6334, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  =/= -oo )
6434, 63jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/= -oo )
)
6564adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  ( F `  A )  =/= -oo ) )
66 xrnemnf 11419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  ( F `  A )  =/= -oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = +oo ) )
6765, 66sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = +oo ) )
6825, 59, 67mpjaod 382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
69 pnfnlt 11430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  -. +oo  <  ( F `  A
) )
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -. +oo  <  ( F `  A ) )
7170adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  -. +oo  <  ( F `  A )
)
7237xnegcld 11586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -e ( A D B )  e.  RR* )
7334, 72xaddcld 11587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )
74 xbln0 21360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  ( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e. 
RR* )  ->  (
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  =/=  (/) 
<->  0  <  ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )
756, 8, 73, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  0  <  (
( F `  A
) +e  -e ( A D B ) ) ) )
76 xposdif 11548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  0  <  ( ( F `  A
) +e  -e ( A D B ) ) ) )
7737, 34, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  <  ( F `  A )  <->  0  <  ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )
7875, 77bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  ( A D B )  <  ( F `  A )
) )
79 breq1 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A D B )  = +oo  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <-> +oo  <  ( F `  A )
) )
8078, 79sylan9bb 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <-> +oo  <  ( F `  A )
) )
8180necon1bbid 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( -. +oo  <  ( F `  A
)  <->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =  (/) ) )
8271, 81mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) )  =  (/) )
83 0ss 3797 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )
8482, 83syl6eqss 3520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  /\  ( A D B )  = +oo )  ->  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
85 xmetge0 21290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
866, 10, 8, 85syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
87 ge0nemnf 11468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A D B ) )  ->  ( A D B )  =/= -oo )
8837, 86, 87syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =/= -oo )
8937, 88jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= -oo )
)
90 xrnemnf 11419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= -oo )  <->  ( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = +oo ) )
9189, 90sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = +oo )
)
9268, 84, 91mpjaodan 793 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
93 sslin 3694 . . . . . 6  |-  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
95 xrleid 11449 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
9634, 95syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( F `  A ) )
97 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  S  C_  X )
9828metdsge 21777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
996, 97, 10, 34, 98syl31anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
10096, 99mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )
101 sseq0 3800 . . . . 5  |-  ( ( ( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  /\  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )  ->  ( S  i^i  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10294, 100, 101syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10328metdsge 21777 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
1046, 97, 8, 73, 103syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) +e  -e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
105102, 104mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
) )
10630, 8ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107 elxrge0 11739 . . . . . 6  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  B ) ) )
108107simplbi 461 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 B )  e. 
RR* )
109106, 108syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR* )
110107simprbi 465 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  B
) )
111106, 110syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  B ) )
112 xlesubadd 11549 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  B )  e.  RR* )  /\  (
0  <_  ( F `  A )  /\  ( A D B )  =/= -oo  /\  0  <_  ( F `  B )
) )  ->  (
( ( F `  A ) +e  -e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
)  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) +e ( A D B ) ) ) )
11334, 37, 109, 61, 88, 111, 112syl33anc 1279 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) +e  -e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) +e ( A D B ) ) ) )
114105, 113mpbid 213 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( F `  B ) +e ( A D B ) ) )
115 xaddcom 11531 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  B
) +e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( F `
 B ) ) )
116109, 37, 115syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  B ) +e
( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
117114, 116breqtrd 4450 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) +e ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    -ecxne 11406   +ecxad 11407   [,]cicc 11638   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-ec 7373  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900
This theorem is referenced by:  metdsle  21780  metdscnlem  21783  metnrmlem1  21787
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