Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Unicode version

Theorem metdsre 21225
 Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metdsre
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3799 . . 3
2 metxmet 20705 . . . . . . . . 9
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10
43metdsf 21220 . . . . . . . . 9
52, 4sylan 471 . . . . . . . 8
65adantr 465 . . . . . . 7
7 ffn 5737 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
95adantr 465 . . . . . . . . . . 11
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11
119, 10ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
12 elxrge0 11641 . . . . . . . . . . 11
1312simplbi 460 . . . . . . . . . 10
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9
15 simpll 753 . . . . . . . . . 10
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
1716sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
1817adantrr 716 . . . . . . . . . 10
19 metcl 20703 . . . . . . . . . 10
2015, 18, 10, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2112simprbi 464 . . . . . . . . . 10
2211, 21syl 16 . . . . . . . . 9
233metdsle 21224 . . . . . . . . . 10
242, 23sylanl1 650 . . . . . . . . 9
25 xrrege0 11387 . . . . . . . . 9
2614, 20, 22, 24, 25syl22anc 1229 . . . . . . . 8
2726anassrs 648 . . . . . . 7
2827ralrimiva 2881 . . . . . 6
29 ffnfv 6058 . . . . . 6
308, 28, 29sylanbrc 664 . . . . 5
3130ex 434 . . . 4
3231exlimdv 1700 . . 3
331, 32syl5bi 217 . 2
34333impia 1193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662  wral 2817   wss 3481  c0 3790   class class class wbr 4453   cmpt 4511  ccnv 5004   crn 5006   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cr 9503  cc0 9504   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cicc 11544  cxmt 18273  cme 18274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284 This theorem is referenced by:  metdscn2  21229  lebnumlem1  21329  lebnumlem3  21331
 Copyright terms: Public domain W3C validator