Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Unicode version

Theorem metdsge 21479
 Description: The distance from the point to the set is greater than iff the -ball around misses . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metdsge
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . 4
2 metdscn.f . . . . 5
32metdsval 21477 . . . 4
41, 3syl 16 . . 3
54breq2d 4468 . 2
6 simpll1 1035 . . . . . 6
71adantr 465 . . . . . 6
8 simpl2 1000 . . . . . . 7
98sselda 3499 . . . . . 6
10 xmetcl 20960 . . . . . 6
116, 7, 9, 10syl3anc 1228 . . . . 5
12 oveq2 6304 . . . . . 6
1312cbvmptv 4548 . . . . 5
1411, 13fmptd 6056 . . . 4
15 frn 5743 . . . 4
1614, 15syl 16 . . 3
17 simpr 461 . . 3
18 infmxrgelb 11551 . . 3
1916, 17, 18syl2anc 661 . 2
2017adantr 465 . . . . . . 7
21 elbl2 21019 . . . . . . 7
226, 20, 7, 9, 21syl22anc 1229 . . . . . 6
23 xrltnle 9670 . . . . . . 7
2411, 20, 23syl2anc 661 . . . . . 6
2522, 24bitrd 253 . . . . 5
2625con2bid 329 . . . 4
2726ralbidva 2893 . . 3
28 ovex 6324 . . . . 5
2928rgenw 2818 . . . 4
30 breq2 4460 . . . . 5
3113, 30ralrnmpt 6041 . . . 4
3229, 31ax-mp 5 . . 3
33 disj 3870 . . 3
3427, 32, 333bitr4g 288 . 2
355, 19, 343bitrd 279 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109   cin 3470   wss 3471  c0 3793   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   crn 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  csup 7918  cxr 9644   clt 9645   cle 9646  cxmt 18530  cbl 18532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541 This theorem is referenced by:  metds0  21480  metdstri  21481  metdseq0  21484  lebnumlem3  21589
 Copyright terms: Public domain W3C validator