Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdseq0OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metdseq0OLD 21964
 Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) Obsolete version of metdseq0 21949 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscnOLD.f
metdscnOLD.j
Assertion
Ref Expression
metdseq0OLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem metdseq0OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1069 . . . . . . 7
2 simprl 772 . . . . . . 7
3 simprr 774 . . . . . . 7
4 metdscnOLD.j . . . . . . . 8
54mopni2 21586 . . . . . . 7
61, 2, 3, 5syl3anc 1292 . . . . . 6
7 simprr 774 . . . . . . . 8
8 ssrin 3648 . . . . . . . 8
97, 8syl 17 . . . . . . 7
10 rpgt0 11336 . . . . . . . . . 10
11 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
12 rpre 11331 . . . . . . . . . . 11
13 ltnle 9731 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 13sylancr 676 . . . . . . . . . 10
1510, 14mpbid 215 . . . . . . . . 9
1615ad2antrl 742 . . . . . . . 8
17 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12
1817breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11
191adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
20 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . 13
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
22 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . 13
2322ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
24 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12
26 metdscnOLD.f . . . . . . . . . . . . 13
2726metdsgeOLD 21959 . . . . . . . . . . . 12
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11
2918, 28bitr3d 263 . . . . . . . . . 10
30 incom 3616 . . . . . . . . . . 11
3130eqeq1i 2476 . . . . . . . . . 10
3229, 31syl6bb 269 . . . . . . . . 9
3332necon3bbid 2680 . . . . . . . 8
3416, 33mpbid 215 . . . . . . 7
35 ssn0 3770 . . . . . . 7
369, 34, 35syl2anc 673 . . . . . 6
376, 36rexlimddv 2875 . . . . 5
3837expr 626 . . . 4
3938ralrimiva 2809 . . 3
404mopntopon 21532 . . . . . . 7 TopOn
41403ad2ant1 1051 . . . . . 6 TopOn
4241adantr 472 . . . . 5 TopOn
43 topontop 20018 . . . . 5 TopOn
4442, 43syl 17 . . . 4
45 toponuni 20019 . . . . . 6 TopOn
4642, 45syl 17 . . . . 5
4720, 46sseqtrd 3454 . . . 4
4822, 46eleqtrd 2551 . . . 4
49 eqid 2471 . . . . 5
5049elcls 20166 . . . 4
5144, 47, 48, 50syl3anc 1292 . . 3
5239, 51mpbird 240 . 2
53 incom 3616 . . . . . . 7
5426metdsfOLD 21958 . . . . . . . . . . . 12
5554ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
56553impa 1226 . . . . . . . . . 10
57 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . 11
5857simplbi 467 . . . . . . . . . 10
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9
60 xrleid 11472 . . . . . . . . 9
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8
6226metdsgeOLD 21959 . . . . . . . . 9
6359, 62mpdan 681 . . . . . . . 8
6461, 63mpbid 215 . . . . . . 7
6553, 64syl5eq 2517 . . . . . 6
6665adantr 472 . . . . 5
6741ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 TopOn
6867, 43syl 17 . . . . . . . 8
69 simpll2 1070 . . . . . . . . 9
7067, 45syl 17 . . . . . . . . 9
7169, 70sseqtrd 3454 . . . . . . . 8
72 simplr 770 . . . . . . . 8
73 simpll1 1069 . . . . . . . . 9
74 simpll3 1071 . . . . . . . . 9
7559ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
764blopn 21593 . . . . . . . . 9
7773, 74, 75, 76syl3anc 1292 . . . . . . . 8
78 simpr 468 . . . . . . . . 9
79 xblcntr 21504 . . . . . . . . 9
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1296 . . . . . . . 8
8149clsndisj 20168 . . . . . . . 8
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1300 . . . . . . 7
8382ex 441 . . . . . 6
8483necon2bd 2659 . . . . 5
8566, 84mpd 15 . . . 4
8657simprbi 471 . . . . . . . 8
8756, 86syl 17 . . . . . . 7
88 0xr 9705 . . . . . . . 8
89 xrleloe 11466 . . . . . . . 8
9088, 59, 89sylancr 676 . . . . . . 7
9187, 90mpbid 215 . . . . . 6
9291adantr 472 . . . . 5
9392ord 384 . . . 4
9485, 93mpd 15 . . 3
9594eqcomd 2477 . 2
9652, 95impbida 850 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  crp 11325  cicc 11663  cxmt 19032  cbl 19034  cmopn 19037  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccl 20110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113 This theorem is referenced by:  metnrmlem1aOLD  21968  lebnumlem1OLD  22070
 Copyright terms: Public domain W3C validator