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Theorem metdseq0 21484
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f |- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
metdscn.j |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
metdseq0 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) = 0 <-> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, D, y   y, J   x, S, y   x, X, y
Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x)
Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables r z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1035 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2 simprl 756 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) -> z e. J )
3 simprr 757 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) -> A e. z )
4 metdscn.j . . . . . . . 8 |- J = ( MetOpen ` D )
54mopni2 21122 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. J /\ A e. z ) -> E. r e. RR+ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z )
61, 2, 3, 5syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) -> E. r e. RR+ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z )
7 simprr 757 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( A ( ball ` D ) r ) C_ z )
8 ssrin 3719 . . . . . . . 8 |- ( ( A ( ball ` D ) r ) C_ z -> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) C_ ( z i^i S ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) C_ ( z i^i S ) )
10 rpgt0 11256 . . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
11 0re 9613 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
12 rpre 11251 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
13 ltnle 9681 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ r e. RR ) -> ( 0 < r <-> -. r <_ 0 ) )
1411, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> ( 0 < r <-> -. r <_ 0 ) )
1510, 14mpbid 210 . . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> -. r <_ 0 )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> -. r <_ 0 )
17 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( F ` A ) = 0 )
1817breq2d 4468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( r <_ ( F ` A ) <-> r <_ 0 ) )
191adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
20 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> S C_ X )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> S C_ X )
22 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> A e. X )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> A e. X )
24 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> r e. RR* )
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( x e. X |-> sup ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , `' < ) )
2726metdsge 21479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ r e. RR* ) -> ( r <_ ( F ` A ) <-> ( S i^i ( A ( ball ` D ) r ) ) = (/) ) )
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( r <_ ( F ` A ) <-> ( S i^i ( A ( ball ` D ) r ) ) = (/) ) )
2918, 28bitr3d 255 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( r <_ 0 <-> ( S i^i ( A ( ball ` D ) r ) ) = (/) ) )
30 incom 3687 . . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i ( A ( ball ` D ) r ) ) = ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S )
3130eqeq1i 2464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S i^i ( A ( ball ` D ) r ) ) = (/) <-> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) = (/) )
3229, 31syl6bb 261 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( r <_ 0 <-> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) = (/) ) )
3332necon3bbid 2704 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( -. r <_ 0 <-> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) =/= (/) ) )
3416, 33mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) =/= (/) )
35 ssn0 3827 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) C_ ( z i^i S ) /\ ( ( A ( ball ` D ) r ) i^i S ) =/= (/) ) -> ( z i^i S ) =/= (/) )
369, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( A ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> ( z i^i S ) =/= (/) )
376, 36rexlimddv 2953 . . . . 5 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ ( z e. J /\ A e. z ) ) -> ( z i^i S ) =/= (/) )
3837expr 615 . . . 4 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) /\ z e. J ) -> ( A e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) )
3938ralrimiva 2871 . . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> A. z e. J ( A e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) )
404mopntopon 21068 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
41403ad2ant1 1017 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4241adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43 topontop 19554 . . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4442, 43syl 16 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> J e. Top )
45 toponuni 19555 . . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4642, 45syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> X = U. J )
4720, 46sseqtrd 3535 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> S C_ U. J )
4822, 46eleqtrd 2547 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> A e. U. J )
49 eqid 2457 . . . . 5 |- U. J = U. J
5049elcls 19701 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ A e. U. J ) -> ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. z e. J ( A e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
5144, 47, 48, 50syl3anc 1228 . . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. z e. J ( A e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
5239, 51mpbird 232 . 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) = 0 ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
53 incom 3687 . . . . . . 7 |- ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) = ( S i^i ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) )
5426metdsf 21478 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
5554ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
56553impa 1191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
57 elxrge0 11654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` A ) ) )
5857simplbi 460 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` A ) e. RR* )
5956, 58syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. RR* )
60 xrleid 11381 . . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. RR* -> ( F ` A ) <_ ( F ` A ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( F ` A ) <_ ( F ` A ) )
6226metdsge 21479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ ( F ` A ) e. RR* ) -> ( ( F ` A ) <_ ( F ` A ) <-> ( S i^i ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) ) = (/) ) )
6359, 62mpdan 668 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) <_ ( F ` A ) <-> ( S i^i ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) ) = (/) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( S i^i ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) ) = (/) )
6553, 64syl5eq 2510 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) = (/) )
6665adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) = (/) )
6741ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6867, 43syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> J e. Top )
69 simpll2 1036 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> S C_ X )
7067, 45syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> X = U. J )
7169, 70sseqtrd 3535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> S C_ U. J )
72 simplr 755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
73 simpll1 1035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
74 simpll3 1037 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> A e. X )
7559ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> ( F ` A ) e. RR* )
764blopn 21129 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` A ) e. RR* ) -> ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) e. J )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) e. J )
78 simpr 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> 0 < ( F ` A ) )
79 xblcntr 21040 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( F ` A ) e. RR* /\ 0 < ( F ` A ) ) ) -> A e. ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) )
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> A e. ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) )
8149clsndisj 19703 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) e. J /\ A e. ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) =/= (/) )
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1236 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ 0 < ( F ` A ) ) -> ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) =/= (/) )
8382ex 434 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( 0 < ( F ` A ) -> ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) =/= (/) ) )
8483necon2bd 2672 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( A ( ball ` D ) ( F ` A ) ) i^i S ) = (/) -> -. 0 < ( F ` A ) ) )
8566, 84mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. 0 < ( F ` A ) )
8657simprbi 464 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( F ` A ) )
8756, 86syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> 0 <_ ( F ` A ) )
88 0xr 9657 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
89 xrleloe 11375 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( F ` A ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( F ` A ) <-> ( 0 < ( F ` A ) \/ 0 = ( F ` A ) ) ) )
9088, 59, 89sylancr 663 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( 0 <_ ( F ` A ) <-> ( 0 < ( F ` A ) \/ 0 = ( F ` A ) ) ) )
9187, 90mpbid 210 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( 0 < ( F ` A ) \/ 0 = ( F ` A ) ) )
9291adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( 0 < ( F ` A ) \/ 0 = ( F ` A ) ) )
9392ord 377 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. 0 < ( F ` A ) -> 0 = ( F ` A ) ) )
9485, 93mpd 15 . . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> 0 = ( F ` A ) )
9594eqcomd 2465 . 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F ` A ) = 0 )
9652, 95impbida 832 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) = 0 <-> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  21488  lebnumlem1  21587
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