MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdseq0 Structured version   Unicode version

Theorem metdseq0 20433
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metdseq0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  z  e.  J )
3 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  A  e.  z )
4 metdscn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopni2 20071 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
7 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( A ( ball `  D ) r ) 
C_  z )
8 ssrin 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  C_  (
z  i^i  S )
)
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S ) )
10 rpgt0 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
11 0re 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
12 rpre 11000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
13 ltnle 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1411, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1510, 14mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  -.  r  <_  0 )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  -.  r  <_  0 )
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( F `  A
)  =  0 )
1817breq2d 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  r  <_  0 ) )
191adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
20 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  X
)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  S  C_  X )
22 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  X )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  A  e.  X )
24 rpxr 11001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
r  e.  RR* )
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2726metdsge 20428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  r  e.  RR* )  ->  ( r  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2918, 28bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
30 incom 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  ( A (
ball `  D )
r ) )  =  ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)
3130eqeq1i 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/)  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =  (/) )
3229, 31syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( ( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =  (/) ) )
3332necon3bbid 2645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( -.  r  <_ 
0  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3416, 33mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  =/=  (/) )
35 ssn0 3673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S )  /\  (
( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
369, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) )
376, 36rexlimddv 2848 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) )
3837expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  z  e.  J )  ->  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3938ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
404mopntopon 20017 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41403ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4241adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
43 topontop 18534 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  Top )
45 toponuni 18535 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4642, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  X  =  U. J )
4720, 46sseqtrd 3395 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  U. J
)
4822, 46eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  U. J )
49 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
5049elcls 18680 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5144, 47, 48, 50syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5239, 51mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
53 incom 3546 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5426metdsf 20427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
5554ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
56553impa 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
57 elxrge0 11397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
5857simplbi 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
5956, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
60 xrleid 11130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  <_  ( F `  A )
)
6226metdsge 20428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6359, 62mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) ) )  =  (/) )
6553, 64syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6665adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6741ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6867, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  Top )
69 simpll2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  X
)
7067, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  X  =  U. J )
7169, 70sseqtrd 3395 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  U. J
)
72 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
73 simpll1 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
74 simpll3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  X )
7559ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
764blopn 20078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  e.  J )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J
)
78 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  0  <  ( F `  A ) )
79 xblcntr 19989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <  ( F `
 A ) ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8149clsndisj 18682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )  /\  ( ( A (
ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J  /\  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8382ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  ->  (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
8483necon2bd 2663 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =  (/)  ->  -.  0  <  ( F `  A ) ) )
8566, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  0  <  ( F `  A
) )
8657simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
8756, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  A ) )
88 0xr 9433 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
89 xrleloe 11124 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9088, 59, 89sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9187, 90mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9291adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9392ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  0  <  ( F `  A )  ->  0  =  ( F `  A ) ) )
9485, 93mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  0  =  ( F `  A ) )
9594eqcomd 2448 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
9652, 95impbida 828 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   U.cuni 4094   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   `'ccnv 4842   ran crn 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   supcsup 7693   RRcr 9284   0cc0 9285   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422   RR+crp 10994   [,]cicc 11306   *Metcxmt 17804   ballcbl 17806   MetOpencmopn 17809   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   clsccl 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-icc 11310  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  20437  lebnumlem1  20536
  Copyright terms: Public domain W3C validator