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Theorem metdseq0 21857
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metdseq0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  z  e.  J )
3 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  A  e.  z )
4 metdscn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopni2 21494 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
7 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( A ( ball `  D ) r ) 
C_  z )
8 ssrin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  C_  (
z  i^i  S )
)
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S ) )
10 rpgt0 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
11 0re 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
12 rpre 11308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
13 ltnle 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1411, 12, 13sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1510, 14mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  -.  r  <_  0 )
1615ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  -.  r  <_  0 )
17 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( F `  A
)  =  0 )
1817breq2d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  r  <_  0 ) )
191adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
20 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  X
)
2120ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  S  C_  X )
22 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  X )
2322ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  A  e.  X )
24 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2524ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
r  e.  RR* )
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
2726metdsge 21852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  r  e.  RR* )  ->  ( r  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2918, 28bitr3d 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
30 incom 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  ( A (
ball `  D )
r ) )  =  ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)
3130eqeq1i 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/)  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =  (/) )
3229, 31syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( ( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =  (/) ) )
3332necon3bbid 2671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( -.  r  <_ 
0  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3416, 33mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  =/=  (/) )
35 ssn0 3795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S )  /\  (
( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
369, 34, 35syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) )
376, 36rexlimddv 2921 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) )
3837expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  z  e.  J )  ->  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3938ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
404mopntopon 21440 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41403ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4241adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
43 topontop 19927 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4442, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  Top )
45 toponuni 19928 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4642, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  X  =  U. J )
4720, 46sseqtrd 3500 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  U. J
)
4822, 46eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  U. J )
49 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
5049elcls 20075 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5144, 47, 48, 50syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5239, 51mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
53 incom 3655 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5426metdsf 21851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
5554ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
56553impa 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
57 elxrge0 11741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
5857simplbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
60 xrleid 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  <_  ( F `  A )
)
6226metdsge 21852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6359, 62mpdan 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6461, 63mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) ) )  =  (/) )
6553, 64syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6665adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6741ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6867, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  Top )
69 simpll2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  X
)
7067, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  X  =  U. J )
7169, 70sseqtrd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  U. J
)
72 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
73 simpll1 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
74 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  X )
7559ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
764blopn 21501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  e.  J )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J
)
78 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  0  <  ( F `  A ) )
79 xblcntr 21412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <  ( F `
 A ) ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8149clsndisj 20077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )  /\  ( ( A (
ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J  /\  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8382ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  ->  (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
8483necon2bd 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =  (/)  ->  -.  0  <  ( F `  A ) ) )
8566, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  0  <  ( F `  A
) )
8657simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
8756, 86syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  A ) )
88 0xr 9687 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
89 xrleloe 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9088, 59, 89sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9187, 90mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9291adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9392ord 378 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  0  <  ( F `  A )  ->  0  =  ( F `  A ) ) )
9485, 93mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  0  =  ( F `  A ) )
9594eqcomd 2430 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
9652, 95impbida 840 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4850   ` cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   RR+crp 11302   [,]cicc 11638   *Metcxmt 18942   ballcbl 18944   MetOpencmopn 18947   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   clsccl 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022
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