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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > metdseq0 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) |
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metdscn.f |
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metdscn.j |
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metdseq0 |
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1 | simpll1 1069 |
. . . . . . 7
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2 | simprl 772 |
. . . . . . 7
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3 | simprr 774 |
. . . . . . 7
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4 | metdscn.j |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | mopni2 21586 |
. . . . . . 7
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6 | 1, 2, 3, 5 | syl3anc 1292 |
. . . . . 6
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7 | simprr 774 |
. . . . . . . 8
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8 | ssrin 3648 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | syl 17 |
. . . . . . 7
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10 | rpgt0 11336 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 0re 9661 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | rpre 11331 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | ltnle 9731 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 11, 12, 13 | sylancr 676 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 10, 14 | mpbid 215 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | ad2antrl 742 |
. . . . . . . 8
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17 | simpllr 777 |
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18 | 17 | breq2d 4407 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 1 | adantr 472 |
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20 | simpl2 1034 |
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21 | 20 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | simpl3 1035 |
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23 | 22 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | rpxr 11332 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | ad2antrl 742 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | metdscn.f |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | metdsge 21944 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 19, 21, 23, 25, 27 | syl31anc 1295 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 18, 28 | bitr3d 263 |
. . . . . . . . . 10
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30 | incom 3616 |
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31 | 30 | eqeq1i 2476 |
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32 | 29, 31 | syl6bb 269 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | necon3bbid 2680 |
. . . . . . . 8
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34 | 16, 33 | mpbid 215 |
. . . . . . 7
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35 | ssn0 3770 |
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36 | 9, 34, 35 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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37 | 6, 36 | rexlimddv 2875 |
. . . . 5
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38 | 37 | expr 626 |
. . . 4
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39 | 38 | ralrimiva 2809 |
. . 3
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40 | 4 | mopntopon 21532 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | 3ad2ant1 1051 |
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42 | 41 | adantr 472 |
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43 | topontop 20018 |
. . . . 5
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44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . 4
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45 | toponuni 20019 |
. . . . . 6
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46 | 42, 45 | syl 17 |
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47 | 20, 46 | sseqtrd 3454 |
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48 | 22, 46 | eleqtrd 2551 |
. . . 4
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49 | eqid 2471 |
. . . . 5
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50 | 49 | elcls 20166 |
. . . 4
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51 | 44, 47, 48, 50 | syl3anc 1292 |
. . 3
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52 | 39, 51 | mpbird 240 |
. 2
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53 | incom 3616 |
. . . . . . 7
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54 | 26 | metdsf 21943 |
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55 | 54 | ffvelrnda 6037 |
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56 | 55 | 3impa 1226 |
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57 | elxrge0 11767 |
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58 | 57 | simplbi 467 |
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60 | xrleid 11472 |
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61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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62 | 26 | metdsge 21944 |
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63 | 59, 62 | mpdan 681 |
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64 | 61, 63 | mpbid 215 |
. . . . . . 7
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65 | 53, 64 | syl5eq 2517 |
. . . . . 6
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66 | 65 | adantr 472 |
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68 | 67, 43 | syl 17 |
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69 | simpll2 1070 |
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71 | 69, 70 | sseqtrd 3454 |
. . . . . . . 8
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72 | simplr 770 |
. . . . . . . 8
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73 | simpll1 1069 |
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75 | 59 | ad2antrr 740 |
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77 | 73, 74, 75, 76 | syl3anc 1292 |
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78 | simpr 468 |
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79 | xblcntr 21504 |
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80 | 73, 74, 75, 78, 79 | syl112anc 1296 |
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81 | 49 | clsndisj 20168 |
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82 | 68, 71, 72, 77, 80, 81 | syl32anc 1300 |
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84 | 83 | necon2bd 2659 |
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86 | 57 | simprbi 471 |
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88 | 0xr 9705 |
. . . . . . . 8
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89 | xrleloe 11466 |
. . . . . . . 8
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90 | 88, 59, 89 | sylancr 676 |
. . . . . . 7
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. . . . . 6
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92 | 91 | adantr 472 |
. . . . 5
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93 | 92 | ord 384 |
. . . 4
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94 | 85, 93 | mpd 15 |
. . 3
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95 | 94 | eqcomd 2477 |
. 2
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96 | 52, 95 | impbida 850 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-sup 7974 df-inf 7975 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-icc 11667 df-topgen 15420 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-cld 20111 df-ntr 20112 df-cls 20113 |
This theorem is referenced by: metnrmlem1a 21953 lebnumlem1 22067 |
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