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Theorem metdseq0 21864
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metdseq0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simprl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  z  e.  J )
3 simprr 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  A  e.  z )
4 metdscn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopni2 21501 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
7 simprr 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( A ( ball `  D ) r ) 
C_  z )
8 ssrin 3656 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  C_  (
z  i^i  S )
)
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S ) )
10 rpgt0 11310 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
11 0re 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
12 rpre 11305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
13 ltnle 9710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1411, 12, 13sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1510, 14mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  -.  r  <_  0 )
1615ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  -.  r  <_  0 )
17 simpllr 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( F `  A
)  =  0 )
1817breq2d 4413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  r  <_  0 ) )
191adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
20 simpl2 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  X
)
2120ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  S  C_  X )
22 simpl3 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  X )
2322ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  A  e.  X )
24 rpxr 11306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2524ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
r  e.  RR* )
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
2726metdsge 21859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  r  e.  RR* )  ->  ( r  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2918, 28bitr3d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
30 incom 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  ( A (
ball `  D )
r ) )  =  ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)
3130eqeq1i 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/)  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =  (/) )
3229, 31syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( ( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =  (/) ) )
3332necon3bbid 2660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( -.  r  <_ 
0  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3416, 33mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  =/=  (/) )
35 ssn0 3766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S )  /\  (
( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
369, 34, 35syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) )
376, 36rexlimddv 2882 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) )
3837expr 619 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  z  e.  J )  ->  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3938ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
404mopntopon 21447 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41403ad2ant1 1028 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4241adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
43 topontop 19934 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4442, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  Top )
45 toponuni 19935 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4642, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  X  =  U. J )
4720, 46sseqtrd 3467 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  U. J
)
4822, 46eleqtrd 2530 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  U. J )
49 eqid 2450 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
5049elcls 20082 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5144, 47, 48, 50syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5239, 51mpbird 236 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
53 incom 3624 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5426metdsf 21858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
5554ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
56553impa 1202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
57 elxrge0 11738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
5857simplbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
60 xrleid 11446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  <_  ( F `  A )
)
6226metdsge 21859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6359, 62mpdan 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6461, 63mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) ) )  =  (/) )
6553, 64syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6665adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6741ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6867, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  Top )
69 simpll2 1047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  X
)
7067, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  X  =  U. J )
7169, 70sseqtrd 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  U. J
)
72 simplr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
73 simpll1 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
74 simpll3 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  X )
7559ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
764blopn 21508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  e.  J )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J
)
78 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  0  <  ( F `  A ) )
79 xblcntr 21419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <  ( F `
 A ) ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8149clsndisj 20084 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )  /\  ( ( A (
ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J  /\  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8382ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  ->  (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
8483necon2bd 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =  (/)  ->  -.  0  <  ( F `  A ) ) )
8566, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  0  <  ( F `  A
) )
8657simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
8756, 86syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  A ) )
88 0xr 9684 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
89 xrleloe 11440 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9088, 59, 89sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9187, 90mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9291adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9392ord 379 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  0  <  ( F `  A )  ->  0  =  ( F `  A ) ) )
9485, 93mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  0  =  ( F `  A ) )
9594eqcomd 2456 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
9652, 95impbida 842 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288  infcinf 7952   RRcr 9535   0cc0 9536   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   RR+crp 11299   [,]cicc 11635   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   clsccl 20026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-icc 11639  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029
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