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Theorem metdseq0 21949
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metdseq0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simprl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  z  e.  J )
3 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  A  e.  z )
4 metdscn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopni2 21586 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( A (
ball `  D )
r )  C_  z
)
7 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( A ( ball `  D ) r ) 
C_  z )
8 ssrin 3648 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  C_  (
z  i^i  S )
)
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S ) )
10 rpgt0 11336 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
11 0re 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
12 rpre 11331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
13 ltnle 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1411, 12, 13sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 0  <  r  <->  -.  r  <_  0 ) )
1510, 14mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  -.  r  <_  0 )
1615ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  -.  r  <_  0 )
17 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( F `  A
)  =  0 )
1817breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  r  <_  0 ) )
191adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
20 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  X
)
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  S  C_  X )
22 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  X )
2322ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  A  e.  X )
24 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2524ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
r  e.  RR* )
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> inf ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  <  )
)
2726metdsge 21944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  r  e.  RR* )  ->  ( r  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
2918, 28bitr3d 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/) ) )
30 incom 3616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  ( A (
ball `  D )
r ) )  =  ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)
3130eqeq1i 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) r ) )  =  (/)  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =  (/) )
3229, 31syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( r  <_  0  <->  ( ( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =  (/) ) )
3332necon3bbid 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( -.  r  <_ 
0  <->  ( ( A ( ball `  D
) r )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3416, 33mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  =/=  (/) )
35 ssn0 3770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A (
ball `  D )
r )  i^i  S
)  C_  ( z  i^i  S )  /\  (
( A ( ball `  D ) r )  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
369, 34, 35syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) )
376, 36rexlimddv 2875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  ( z  e.  J  /\  A  e.  z
) )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) )
3837expr 626 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  ( F `  A )  =  0 )  /\  z  e.  J )  ->  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3938ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
404mopntopon 21532 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41403ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4241adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
43 topontop 20018 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4442, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  J  e.  Top )
45 toponuni 20019 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4642, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  X  =  U. J )
4720, 46sseqtrd 3454 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  S  C_  U. J
)
4822, 46eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  U. J )
49 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
5049elcls 20166 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5144, 47, 48, 50syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5239, 51mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  =  0 )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
53 incom 3616 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5426metdsf 21943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
5554ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
56553impa 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
57 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  A ) ) )
5857simplbi 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( F `
 A )  e. 
RR* )
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
60 xrleid 11472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( F `  A )  <_  ( F `  A )
)
6226metdsge 21944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6359, 62mpdan 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  <_  ( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
6461, 63mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) ) )  =  (/) )
6553, 64syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6665adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =  (/) )
6741ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6867, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  J  e.  Top )
69 simpll2 1070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  X
)
7067, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  X  =  U. J )
7169, 70sseqtrd 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  S  C_  U. J
)
72 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
73 simpll1 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
74 simpll3 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  X )
7559ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
764blopn 21593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  e.  J )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J
)
78 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  0  <  ( F `  A ) )
79 xblcntr 21504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <  ( F `
 A ) ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
8149clsndisj 20168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )  /\  ( ( A (
ball `  D )
( F `  A
) )  e.  J  /\  A  e.  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  0  <  ( F `  A ) )  ->  ( ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  i^i 
S )  =/=  (/) )
8382ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  ->  (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
8483necon2bd 2659 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
( A ( ball `  D ) ( F `
 A ) )  i^i  S )  =  (/)  ->  -.  0  <  ( F `  A ) ) )
8566, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  0  <  ( F `  A
) )
8657simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  A
) )
8756, 86syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  A ) )
88 0xr 9705 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
89 xrleloe 11466 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9088, 59, 89sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
9187, 90mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9291adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
9392ord 384 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  0  <  ( F `  A )  ->  0  =  ( F `  A ) ) )
9485, 93mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  0  =  ( F `  A ) )
9594eqcomd 2477 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
9652, 95impbida 850 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   RR+crp 11325   [,]cicc 11663   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   clsccl 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113
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