Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Unicode version

Theorem metdscn 21797
 Description: The function which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metdscn.c
metdscn.k
Assertion
Ref Expression
metdscn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4
21metdsf 21789 . . 3
3 iccssxr 11706 . . 3
4 fss 5745 . . 3
52, 3, 4sylancl 666 . 2
6 simprr 764 . . . 4
75ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
8 simplrl 768 . . . . . . . . 9
97, 8ffvelrnd 6029 . . . . . . . 8
10 simprl 762 . . . . . . . . 9
117, 10ffvelrnd 6029 . . . . . . . 8
12 metdscn.c . . . . . . . . 9
1312xrsdsval 18940 . . . . . . . 8
149, 11, 13syl2anc 665 . . . . . . 7
15 metdscn.j . . . . . . . . 9
16 metdscn.k . . . . . . . . 9
17 simplll 766 . . . . . . . . 9
18 simpllr 767 . . . . . . . . 9
19 simplrr 769 . . . . . . . . 9
20 xmetsym 21286 . . . . . . . . . . 11
2117, 10, 8, 20syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
22 simprr 764 . . . . . . . . . 10
2321, 22eqbrtrd 4437 . . . . . . . . 9
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 21796 . . . . . . . 8
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 21796 . . . . . . . 8
26 breq1 4420 . . . . . . . . 9
27 breq1 4420 . . . . . . . . 9
2826, 27ifboth 3942 . . . . . . . 8
2924, 25, 28syl2anc 665 . . . . . . 7
3014, 29eqbrtrd 4437 . . . . . 6
3130expr 618 . . . . 5
3231ralrimiva 2837 . . . 4
33 breq2 4421 . . . . . . 7
3433imbi1d 318 . . . . . 6
3534ralbidv 2862 . . . . 5
3635rspcev 3179 . . . 4
376, 32, 36syl2anc 665 . . 3
3837ralrimivva 2844 . 2
39 simpl 458 . . 3
4012xrsxmet 21751 . . 3
4115, 16metcn 21482 . . 3
4239, 40, 41sylancl 666 . 2
435, 38, 42mpbir2and 930 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773  wrex 2774   wss 3433  cif 3906   class class class wbr 4417   cmpt 4475  ccnv 4844   crn 4846  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296  csup 7951  cc0 9528   cpnf 9661  cxr 9663   clt 9664   cle 9665  crp 11291   cxne 11395  cxad 11396  cicc 11627  cds 15151  cxrs 15350  cxmt 18883  cmopn 18888   ccn 20164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-icc 11631  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-topgen 15294  df-xrs 15352  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cn 20167  df-cnp 20168 This theorem is referenced by:  metdscn2  21798
 Copyright terms: Public domain W3C validator