Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Unicode version

Theorem metds0 21646
 Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metds0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10
21metdsf 21644 . . . . . . . . 9
323adant3 1017 . . . . . . . 8
4 ssel2 3437 . . . . . . . . 9
543adant1 1015 . . . . . . . 8
63, 5ffvelrnd 6010 . . . . . . 7
7 elxrge0 11683 . . . . . . . 8
87simplbi 458 . . . . . . 7
96, 8syl 17 . . . . . 6
10 xrleid 11409 . . . . . 6
119, 10syl 17 . . . . 5
12 simp1 997 . . . . . 6
13 simp2 998 . . . . . 6
141metdsge 21645 . . . . . 6
1512, 13, 5, 9, 14syl31anc 1233 . . . . 5
1611, 15mpbid 210 . . . 4
17 simpl3 1002 . . . . . . 7
1812adantr 463 . . . . . . . 8
195adantr 463 . . . . . . . 8
209adantr 463 . . . . . . . 8
21 simpr 459 . . . . . . . 8
22 xblcntr 21206 . . . . . . . 8
2318, 19, 20, 21, 22syl112anc 1234 . . . . . . 7
24 inelcm 3824 . . . . . . 7
2517, 23, 24syl2anc 659 . . . . . 6
2625ex 432 . . . . 5
2726necon2bd 2618 . . . 4
2816, 27mpd 15 . . 3
297simprbi 462 . . . . . 6
306, 29syl 17 . . . . 5
31 0xr 9670 . . . . . 6
32 xrleloe 11403 . . . . . 6
3331, 9, 32sylancr 661 . . . . 5
3430, 33mpbid 210 . . . 4
3534ord 375 . . 3
3628, 35mpd 15 . 2
3736eqcomd 2410 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   cin 3413   wss 3414  c0 3738   class class class wbr 4395   cmpt 4453  ccnv 4822   crn 4824  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  csup 7934  cc0 9522   cpnf 9655  cxr 9657   clt 9658   cle 9659  cicc 11585  cxmt 18723  cbl 18725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-bl 18734 This theorem is referenced by:  metdsle  21648  metnrmlem1  21655
 Copyright terms: Public domain W3C validator