MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdmdm Structured version   Unicode version

Theorem metdmdm 20947
Description: Recover the base set from a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metdmdm  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )

Proof of Theorem metdmdm
StepHypRef Expression
1 metxmet 20945 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetdmdm 20946 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )
31, 2syl 16 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   dom cdm 4930   ` cfv 5513   *Metcxmt 18539   Metcme 18540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-mulcl 9487  ax-i2m1 9493
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-xadd 11262  df-xmet 18548  df-met 18549
This theorem is referenced by:  cmetss  21861
  Copyright terms: Public domain W3C validator