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Theorem metdcnlem 21523
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xmetdcn2.2  |-  C  =  ( dist `  RR*s
)
xmetdcn2.3  |-  K  =  ( MetOpen `  C )
metdcn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metdcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
metdcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
metdcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
metdcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
metdcn.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
metdcn.4  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
metdcn.5  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metdcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5  |-  C  =  ( dist `  RR*s
)
21xrsxmet 21496 . . . 4  |-  C  e.  ( *Met `  RR* )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( *Met `  RR* )
)
4 metdcn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 metdcn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6 metdcn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
7 xmetcl 21016 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
84, 5, 6, 7syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A D B )  e.  RR* )
9 metdcn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 metdcn.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
11 xmetcl 21016 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
124, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
13 xmetcl 21016 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
144, 9, 6, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
15 metdcn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rphalfcld 11232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
1716rpred 11220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
18 xmetcl 21016 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* )  ->  (
( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
193, 8, 14, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
20 xmetcl 21016 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
)  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
214, 5, 9, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
2216rpxrd 11221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR* )
231xmetrtri2 21041 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
25 metdcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 11332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 ) )
27 xrltle 11324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2819, 22, 27syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2926, 28mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) )
30 xmetlecl 21031 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
32 xmetcl 21016 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e. 
RR* )  ->  (
( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
333, 14, 12, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
34 xmetcl 21016 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
354, 6, 10, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
36 xmetsym 21032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
374, 9, 6, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
38 xmetsym 21032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
394, 9, 10, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
4037, 39oveq12d 6250 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  =  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) )
411xmetrtri2 21041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  Y  e.  X ) )  -> 
( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
4340, 42eqbrtrd 4412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( B D Z ) )
44 metdcn.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 11332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 ) )
46 xrltle 11324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4733, 22, 46syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4845, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) )
49 xmetlecl 21031 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5131, 50readdcld 9571 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR )
52 xmettri 21036 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
54 rexadd 11400 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5531, 50, 54syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5653, 55breqtrd 4416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
57 xmetlecl 21031 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1237 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5915rpred 11220 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10745 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  <  R )
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9692 1  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439    + caddc 9443   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577    / cdiv 10165   2c2 10544   RR+crp 11181   +ecxad 11285   distcds 14808   RR*scxrs 15004   *Metcxmt 18613   MetOpencmopn 18618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-icc 11505  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-xrs 15006  df-xmet 18622
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  21524
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