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Theorem metdcnlem 20548
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xmetdcn2.2  |-  C  =  ( dist `  RR*s
)
xmetdcn2.3  |-  K  =  ( MetOpen `  C )
metdcn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
metdcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
metdcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
metdcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
metdcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
metdcn.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
metdcn.4  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
metdcn.5  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metdcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5  |-  C  =  ( dist `  RR*s
)
21xrsxmet 20521 . . . 4  |-  C  e.  ( *Met `  RR* )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( *Met `  RR* )
)
4 metdcn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 metdcn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6 metdcn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
7 xmetcl 20041 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
84, 5, 6, 7syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A D B )  e.  RR* )
9 metdcn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 metdcn.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
11 xmetcl 20041 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
124, 9, 10, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
13 xmetcl 20041 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
144, 9, 6, 13syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
15 metdcn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rphalfcld 11153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
1716rpred 11141 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
18 xmetcl 20041 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* )  ->  (
( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
193, 8, 14, 18syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
20 xmetcl 20041 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
)  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
214, 5, 9, 20syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
2216rpxrd 11142 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR* )
231xmetrtri2 20066 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
25 metdcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 11248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 ) )
27 xrltle 11240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2819, 22, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2926, 28mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) )
30 xmetlecl 20056 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
32 xmetcl 20041 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e. 
RR* )  ->  (
( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
333, 14, 12, 32syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
34 xmetcl 20041 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
354, 6, 10, 34syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
36 xmetsym 20057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
374, 9, 6, 36syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
38 xmetsym 20057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
394, 9, 10, 38syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
4037, 39oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  =  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) )
411xmetrtri2 20066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  Y  e.  X ) )  -> 
( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
4340, 42eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( B D Z ) )
44 metdcn.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 11248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 ) )
46 xrltle 11240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4733, 22, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4845, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) )
49 xmetlecl 20056 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5131, 50readdcld 9527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR )
52 xmettri 20061 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
54 rexadd 11316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5531, 50, 54syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5653, 55breqtrd 4427 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
57 xmetlecl 20056 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5915rpred 11141 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  <  R )
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395    + caddc 9399   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    / cdiv 10107   2c2 10485   RR+crp 11105   +ecxad 11201   distcds 14369   RR*scxrs 14560   *Metcxmt 17929   MetOpencmopn 17934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-icc 11421  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-xrs 14562  df-xmet 17938
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  20549
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