Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Unicode version

Theorem metdcnlem 21846
 Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1
xmetdcn2.2
xmetdcn2.3
metdcn.d
metdcn.a
metdcn.b
metdcn.r
metdcn.y
metdcn.z
metdcn.4
metdcn.5
Assertion
Ref Expression
metdcnlem

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5
21xrsxmet 21819 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 metdcn.d . . . 4
5 metdcn.a . . . 4
6 metdcn.b . . . 4
7 xmetcl 21338 . . . 4
84, 5, 6, 7syl3anc 1265 . . 3
9 metdcn.y . . . 4
10 metdcn.z . . . 4
11 xmetcl 21338 . . . 4
124, 9, 10, 11syl3anc 1265 . . 3
13 xmetcl 21338 . . . . . 6
144, 9, 6, 13syl3anc 1265 . . . . 5
15 metdcn.r . . . . . . 7
1615rphalfcld 11355 . . . . . 6
1716rpred 11343 . . . . 5
18 xmetcl 21338 . . . . . . . 8
193, 8, 14, 18syl3anc 1265 . . . . . . 7
20 xmetcl 21338 . . . . . . . 8
214, 5, 9, 20syl3anc 1265 . . . . . . 7
2216rpxrd 11344 . . . . . . 7
231xmetrtri2 21363 . . . . . . . 8
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1267 . . . . . . 7
25 metdcn.4 . . . . . . 7
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 11459 . . . . . 6
27 xrltle 11450 . . . . . . 7
2819, 22, 27syl2anc 666 . . . . . 6
2926, 28mpd 15 . . . . 5
30 xmetlecl 21353 . . . . 5
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1274 . . . 4
32 xmetcl 21338 . . . . . . . 8
333, 14, 12, 32syl3anc 1265 . . . . . . 7
34 xmetcl 21338 . . . . . . . 8
354, 6, 10, 34syl3anc 1265 . . . . . . 7
36 xmetsym 21354 . . . . . . . . . 10
374, 9, 6, 36syl3anc 1265 . . . . . . . . 9
38 xmetsym 21354 . . . . . . . . . 10
394, 9, 10, 38syl3anc 1265 . . . . . . . . 9
4037, 39oveq12d 6321 . . . . . . . 8
411xmetrtri2 21363 . . . . . . . . 9
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1267 . . . . . . . 8
4340, 42eqbrtrd 4442 . . . . . . 7
44 metdcn.5 . . . . . . 7
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 11459 . . . . . 6
46 xrltle 11450 . . . . . . 7
4733, 22, 46syl2anc 666 . . . . . 6
4845, 47mpd 15 . . . . 5
49 xmetlecl 21353 . . . . 5
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1274 . . . 4
5131, 50readdcld 9672 . . 3
52 xmettri 21358 . . . . 5
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1267 . . . 4
54 rexadd 11527 . . . . 5
5531, 50, 54syl2anc 666 . . . 4
5653, 55breqtrd 4446 . . 3
57 xmetlecl 21353 . . 3
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1274 . 2
5915rpred 11343 . 2
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10862 . 2
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9795 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1438   wcel 1869   class class class wbr 4421  cfv 5599  (class class class)co 6303  cr 9540   caddc 9544  cxr 9676   clt 9677   cle 9678   cdiv 10271  c2 10661  crp 11304  cxad 11409  cds 15192  cxrs 15391  cxmt 18948  cmopn 18953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-xrs 15393  df-xmet 18956 This theorem is referenced by:  xmetdcn2  21847
 Copyright terms: Public domain W3C validator