Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Unicode version

Theorem metdcnlem 20388
 Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1
xmetdcn2.2
xmetdcn2.3
metdcn.d
metdcn.a
metdcn.b
metdcn.r
metdcn.y
metdcn.z
metdcn.4
metdcn.5
Assertion
Ref Expression
metdcnlem

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5
21xrsxmet 20361 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 metdcn.d . . . 4
5 metdcn.a . . . 4
6 metdcn.b . . . 4
7 xmetcl 19881 . . . 4
84, 5, 6, 7syl3anc 1218 . . 3
9 metdcn.y . . . 4
10 metdcn.z . . . 4
11 xmetcl 19881 . . . 4
124, 9, 10, 11syl3anc 1218 . . 3
13 xmetcl 19881 . . . . . 6
144, 9, 6, 13syl3anc 1218 . . . . 5
15 metdcn.r . . . . . . 7
1615rphalfcld 11031 . . . . . 6
1716rpred 11019 . . . . 5
18 xmetcl 19881 . . . . . . . 8
193, 8, 14, 18syl3anc 1218 . . . . . . 7
20 xmetcl 19881 . . . . . . . 8
214, 5, 9, 20syl3anc 1218 . . . . . . 7
2216rpxrd 11020 . . . . . . 7
231xmetrtri2 19906 . . . . . . . 8
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1220 . . . . . . 7
25 metdcn.4 . . . . . . 7
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 11126 . . . . . 6
27 xrltle 11118 . . . . . . 7
2819, 22, 27syl2anc 661 . . . . . 6
2926, 28mpd 15 . . . . 5
30 xmetlecl 19896 . . . . 5
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1227 . . . 4
32 xmetcl 19881 . . . . . . . 8
333, 14, 12, 32syl3anc 1218 . . . . . . 7
34 xmetcl 19881 . . . . . . . 8
354, 6, 10, 34syl3anc 1218 . . . . . . 7
36 xmetsym 19897 . . . . . . . . . 10
374, 9, 6, 36syl3anc 1218 . . . . . . . . 9
38 xmetsym 19897 . . . . . . . . . 10
394, 9, 10, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . 9
4037, 39oveq12d 6104 . . . . . . . 8
411xmetrtri2 19906 . . . . . . . . 9
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1220 . . . . . . . 8
4340, 42eqbrtrd 4307 . . . . . . 7
44 metdcn.5 . . . . . . 7
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 11126 . . . . . 6
46 xrltle 11118 . . . . . . 7
4733, 22, 46syl2anc 661 . . . . . 6
4845, 47mpd 15 . . . . 5
49 xmetlecl 19896 . . . . 5
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1227 . . . 4
5131, 50readdcld 9405 . . 3
52 xmettri 19901 . . . . 5
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1220 . . . 4
54 rexadd 11194 . . . . 5
5531, 50, 54syl2anc 661 . . . 4
5653, 55breqtrd 4311 . . 3
57 xmetlecl 19896 . . 3
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1227 . 2
5915rpred 11019 . 2
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10564 . 2
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9521 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1369   wcel 1756   class class class wbr 4287  cfv 5413  (class class class)co 6086  cr 9273   caddc 9277  cxr 9409   clt 9410   cle 9411   cdiv 9985  c2 10363  crp 10983  cxad 11079  cds 14239  cxrs 14430  cxmt 17776  cmopn 17781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-xrs 14432  df-xmet 17785 This theorem is referenced by:  xmetdcn2  20389
 Copyright terms: Public domain W3C validator