MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcn2 Unicode version

Theorem metdcn2 18823
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metdcn2.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
metdcn2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )

Proof of Theorem metdcn2
StepHypRef Expression
1 metxmet 18317 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetdcn2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
42, 3xmetdcn 18822 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
6 letopon 17223 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
)
8 metf 18313 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
9 frn 5556 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ran 
D  C_  RR )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ran  D  C_  RR )
11 ressxr 9085 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  RR  C_  RR* )
13 cnrest2 17304 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ran  D  C_  RR  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop `  <_  ) )  <-> 
D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
147, 10, 12, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) )  <->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
155, 14mpbid 202 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) )
16 metdcn2.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
17 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1817xrtgioo 18790 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1916, 18eqtri 2424 . . 3  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
2019oveq2i 6051 . 2  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) )
2115, 20syl6eleqr 2495 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280    X. cxp 4835   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   ↾t crest 13603   topGenctg 13620  ordTopcordt 13676   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  metdcn  18824  msdcn  18825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-tms 18305
  Copyright terms: Public domain W3C validator