MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcn2 Structured version   Unicode version

Theorem metdcn2 20375
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metdcn2.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
metdcn2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )

Proof of Theorem metdcn2
StepHypRef Expression
1 metxmet 19868 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetdcn2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
42, 3xmetdcn 20374 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
6 letopon 18768 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
)
8 metf 19864 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
9 frn 5562 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ran 
D  C_  RR )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ran  D  C_  RR )
11 ressxr 9423 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  RR  C_  RR* )
13 cnrest2 18849 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ran  D  C_  RR  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop `  <_  ) )  <-> 
D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
147, 10, 12, 13syl3anc 1213 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) )  <->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
155, 14mpbid 210 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) )
16 metdcn2.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
17 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1817xrtgioo 20342 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1916, 18eqtri 2461 . . 3  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
2019oveq2i 6101 . 2  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) )
2115, 20syl6eleqr 2532 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325    X. cxp 4834   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   RR*cxr 9413    <_ cle 9415   (,)cioo 11296   ↾t crest 14355   topGenctg 14372  ordTopcordt 14433   *Metcxmt 17760   Metcme 17761   MetOpencmopn 17765  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787    tX ctx 19092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-tms 19856
This theorem is referenced by:  metdcn  20376  msdcn  20377
  Copyright terms: Public domain W3C validator