Theorem metcnss2 9177

Description: Subset relationship for continuity of metric spaces.

Hypotheses

Ref	Expression
metcnss2.1	|- X = dom dom B
metcnss2.2	|- J = (Open` B)
metcnss2.3	|- K = (Open` C)
metcnss2.4	|- L = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcnss2	|- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ (B C_ C /\ F e. (K Cn L))) -> (F |` X) e. (J Cn L))

Proof of Theorem metcnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssres 4582	. . . . . . . 8 |- ((F:dom dom C-->dom dom D /\ X C_ dom dom C) -> (F |` X):X-->dom dom D)
2		metcnss2.1	. . . . . . . . 9 |- X = dom dom B
3		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- dom dom C = dom dom C
4	2, 3	metss 9101	. . . . . . . 8 |- (B C_ C -> X C_ dom dom C)
5	1, 4	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((F:dom dom C-->dom dom D /\ B C_ C) -> (F |` X):X-->dom dom D)
6	5	expcom 403	. . . . . 6 |- (B C_ C -> (F:dom dom C-->dom dom D -> (F |` X):X-->dom dom D))
7	6	adantl 424	. . . . 5 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (F:dom dom C-->dom dom D -> (F |` X):X-->dom dom D))
8		ssralv 2672	. . . . . . . 8 |- (X C_ dom dom C -> (A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))))
9	4, 8	syl 12	. . . . . . 7 |- (B C_ C -> (A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))))
10	9	adantl 424	. . . . . 6 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))))
11		ssralv 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X C_ dom dom C -> (A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> A.w e. X ((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))
12	4, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B C_ C -> (A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> A.w e. X ((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))
13	12	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> (A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> A.w e. X ((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))
14	2	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (B e. Met -> B:(X X. X)-->RR)
15		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (B:(X X. X)-->RR -> dom B = (X X. X))
16		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (dom B = (X X. X) -> (C |` dom B) = (C |` (X X. X)))
17	14, 15, 16	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (B e. Met -> (C |` dom B) = (C |` (X X. X)))
18	17	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (C |` dom B) = (C |` (X X. X)))
19		funssres 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((Fun C /\ B C_ C) -> (C |` dom B) = B)
20	3	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (C e. Met -> C:(dom dom C X. dom dom C)-->RR)
21		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (C:(dom dom C X. dom dom C)-->RR -> Fun C)
22	20, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C e. Met -> Fun C)
23	19, 22	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((C e. Met /\ B C_ C) -> (C |` dom B) = B)
24	23	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (C |` dom B) = B)
25	18, 24	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (C |` (X X. X)) = B)
26	25	opreqd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (x(C |` (X X. X))w) = (xBw))
27	26	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> (x(C |` (X X. X))w) = (xBw))
28		oprvres 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. X /\ w e. X) -> (x(C |` (X X. X))w) = (xCw))
29	28	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> (x(C |` (X X. X))w) = (xCw))
30	27, 29	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> (xBw) = (xCw))
31	30	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> ((xBw) < z <-> (xCw) < z))
32		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. X -> ((F |` X)` x) = (F` x))
33		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. X -> ((F |` X)` w) = (F` w))
34	32, 33	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. X /\ w e. X) -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) = ((F` x)D(F` w)))
35	34	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. X /\ w e. X) -> ((((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y <-> ((F` x)D(F` w)) < y))
36	35	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> ((((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y <-> ((F` x)D(F` w)) < y))
37	31, 36	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> (((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y) <-> ((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))
38	37	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) /\ w e. X) -> (((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))
39	38	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> (A.w e. X ((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))
40	13, 39	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> (A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y) -> A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))
41	40	anim2d 620	. . . . . . . . . 10 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> ((0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)) -> (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))
42	41	reximdv 2202	. . . . . . . . 9 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> (E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))
43	42	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> ((0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))))
44	43	ralimdv 2172	. . . . . . 7 |- ((((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) /\ x e. X) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))))
45	44	ralimdvaa 2171	. . . . . 6 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))))
46	10, 45	syld 30	. . . . 5 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> (A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))) -> A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y)))))
47	7, 46	anim12d 617	. . . 4 |- (((B e. Met /\ C e. Met) /\ B C_ C) -> ((F:dom dom C-->dom dom D /\ A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))) -> ((F |` X):X-->dom dom D /\ A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))))
48	47	3adantl3 1034	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ B C_ C) -> ((F:dom dom C-->dom dom D /\ A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y)))) -> ((F |` X):X-->dom dom D /\ A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))))
49		metcnss2.3	. . . . . 6 |- K = (Open` C)
50		eqid 1884	. . . . . 6 |- dom dom D = dom dom D
51		metcnss2.4	. . . . . 6 |- L = (Open` D)
52	3, 49, 50, 51	metcn 9167	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:dom dom C-->dom dom D /\ A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))))))
53	52	3adant1 894	. . . 4 |- ((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:dom dom C-->dom dom D /\ A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))))))
54	53	adantr 425	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ B C_ C) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:dom dom C-->dom dom D /\ A.x e. dom dom CA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom C((xCw) < z -> ((F` x)D(F` w)) < y))))))
55		metcnss2.2	. . . . . 6 |- J = (Open` B)
56	2, 55, 50, 51	metcn 9167	. . . . 5 |- ((B e. Met /\ D e. Met) -> ((F |` X) e. (J Cn L) <-> ((F |` X):X-->dom dom D /\ A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))))
57	56	3adant2 895	. . . 4 |- ((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) -> ((F |` X) e. (J Cn L) <-> ((F |` X):X-->dom dom D /\ A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))))
58	57	adantr 425	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ B C_ C) -> ((F |` X) e. (J Cn L) <-> ((F |` X):X-->dom dom D /\ A.x e. X A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((xBw) < z -> (((F |` X)` x)D((F |` X)` w)) < y))))))
59	48, 54, 58	3imtr4d 602	. 2 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ B C_ C) -> (F e. (K Cn L) -> (F |` X) e. (J Cn L)))
60	59	impr 422	1 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ (B C_ C /\ F e. (K Cn L))) -> (F |` X) e. (J Cn L))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  ipasslem7 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain