Theorem metcnss 9176

Description: Subset relationship for continuity of metric spaces.

Hypotheses

Ref	Expression
metcnco.1	|- J = (Open` B)
metcnco.2	|- K = (Open` C)
metcnco.3	|- L = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcnss	|- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (J Cn K) C_ (J Cn L))

Proof of Theorem metcnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fss 4571	. . . . . . . . 9 |- ((f:dom dom B-->dom dom C /\ dom dom C C_ dom dom D) -> f:dom dom B-->dom dom D)
2		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- dom dom C = dom dom C
3		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- dom dom D = dom dom D
4	2, 3	metss 9101	. . . . . . . . 9 |- (C C_ D -> dom dom C C_ dom dom D)
5	1, 4	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((f:dom dom B-->dom dom C /\ C C_ D) -> f:dom dom B-->dom dom D)
6	5	expcom 403	. . . . . . 7 |- (C C_ D -> (f:dom dom B-->dom dom C -> f:dom dom B-->dom dom D))
7	6	adantl 424	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (f:dom dom B-->dom dom C -> f:dom dom B-->dom dom D))
8	7	adantrd 427	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> ((f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))) -> f:dom dom B-->dom dom D))
9		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((f:dom dom B-->dom dom C /\ x e. dom dom B) -> (f` x) e. dom dom C)
10	9	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f:dom dom B-->dom dom C /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> (f` x) e. dom dom C)
11		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((f:dom dom B-->dom dom C /\ w e. dom dom B) -> (f` w) e. dom dom C)
12	11	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f:dom dom B-->dom dom C /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> (f` w) e. dom dom C)
13		oprvres 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f` x) e. dom dom C /\ (f` w) e. dom dom C) -> ((f` x)(D |` (dom dom C X. dom dom C))(f` w)) = ((f` x)D(f` w)))
14	10, 12, 13	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f:dom dom B-->dom dom C /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> ((f` x)(D |` (dom dom C X. dom dom C))(f` w)) = ((f` x)D(f` w)))
15	14	adantlll 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> ((f` x)(D |` (dom dom C X. dom dom C))(f` w)) = ((f` x)D(f` w)))
16	2	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C e. Met -> C:(dom dom C X. dom dom C)-->RR)
17		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C:(dom dom C X. dom dom C)-->RR -> dom C = (dom dom C X. dom dom C))
18		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (dom C = (dom dom C X. dom dom C) -> (D |` dom C) = (D |` (dom dom C X. dom dom C)))
19	16, 17, 18	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (C e. Met -> (D |` dom C) = (D |` (dom dom C X. dom dom C)))
20	19	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (D |` dom C) = (D |` (dom dom C X. dom dom C)))
21		funssres 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((Fun D /\ C C_ D) -> (D |` dom C) = C)
22	3	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (D e. Met -> D:(dom dom D X. dom dom D)-->RR)
23		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (D:(dom dom D X. dom dom D)-->RR -> Fun D)
24	22, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (D e. Met -> Fun D)
25	21, 24	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((D e. Met /\ C C_ D) -> (D |` dom C) = C)
26	25	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (D |` dom C) = C)
27	20, 26	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (D |` (dom dom C X. dom dom C)) = C)
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) -> (D |` (dom dom C X. dom dom C)) = C)
29	28	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> (D |` (dom dom C X. dom dom C)) = C)
30	29	opreqd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> ((f` x)(D |` (dom dom C X. dom dom C))(f` w)) = ((f` x)C(f` w)))
31	15, 30	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> ((f` x)D(f` w)) = ((f` x)C(f` w)))
32	31	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> (((f` x)D(f` w)) < y <-> ((f` x)C(f` w)) < y))
33	32	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) /\ w e. dom dom B) -> (((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y) <-> ((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))
34	33	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) -> (A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y) <-> A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))
35	34	anbi2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) -> ((0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y)) <-> (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))))
36	35	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) -> (E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y)) <-> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))))
37	36	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) -> ((0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))) <-> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))))
38	37	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) /\ x e. dom dom B) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))))
39	38	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) -> (A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))) <-> A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))))
40	39	biimprd 171	. . . . . 6 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) /\ f:dom dom B-->dom dom C) -> (A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))) -> A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y)))))
41	40	expimpd 404	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> ((f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))) -> A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y)))))
42	8, 41	jcad 661	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> ((f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))) -> (f:dom dom B-->dom dom D /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))))))
43	42	3adantl1 1032	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> ((f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y)))) -> (f:dom dom B-->dom dom D /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))))))
44		eqid 1884	. . . . . 6 |- dom dom B = dom dom B
45		metcnco.1	. . . . . 6 |- J = (Open` B)
46		metcnco.2	. . . . . 6 |- K = (Open` C)
47	44, 45, 2, 46	metcn 9167	. . . . 5 |- ((B e. Met /\ C e. Met) -> (f e. (J Cn K) <-> (f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))))))
48	47	3adant3 896	. . . 4 |- ((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) -> (f e. (J Cn K) <-> (f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))))))
49	48	adantr 425	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (f e. (J Cn K) <-> (f:dom dom B-->dom dom C /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)C(f` w)) < y))))))
50		metcnco.3	. . . . . 6 |- L = (Open` D)
51	44, 45, 3, 50	metcn 9167	. . . . 5 |- ((B e. Met /\ D e. Met) -> (f e. (J Cn L) <-> (f:dom dom B-->dom dom D /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))))))
52	51	3adant2 895	. . . 4 |- ((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) -> (f e. (J Cn L) <-> (f:dom dom B-->dom dom D /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))))))
53	52	adantr 425	. . 3 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (f e. (J Cn L) <-> (f:dom dom B-->dom dom D /\ A.x e. dom dom BA.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. dom dom B((xBw) < z -> ((f` x)D(f` w)) < y))))))
54	43, 49, 53	3imtr4d 602	. 2 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (f e. (J Cn K) -> f e. (J Cn L)))
55	54	ssrdv 2622	1 |- (((B e. Met /\ C e. Met /\ D e. Met) /\ C C_ D) -> (J Cn K) C_ (J Cn L))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  metidcn 9178  nmcn3 9680  nmcnc 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain