Theorem metcnplem 9164

Description: Lemma for metcnp 9165.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcnplem	|- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)))) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))))

Distinct variable groups:   y,w,z,F   w,C,y,z   w,D,y,z   w,X,y,z   w,Y,y,z   w,P,y,z   w,J,y,z   y,K

Proof of Theorem metcnplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 4565	. . . . . . . . . . . 12 |- (F:X-->Y -> Fun F)
2	1	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> Fun F)
3	2	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> Fun F)
4		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> C e. Met)
5		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> P e. X)
6	4, 5	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> (C e. Met /\ P e. X))
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> (C e. Met /\ P e. X))
8		simprr 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> (z e. RR /\ 0 < z))
9		metcn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = dom dom C
10	9	blssm 9127	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ P e. X) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (P( ball ` C)z) C_ X)
11	7, 8, 10	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> (P( ball ` C)z) C_ X)
12		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:X-->Y -> dom F = X)
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> dom F = X)
14	13	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> dom F = X)
15	11, 14	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> (P( ball ` C)z) C_ dom F)
16		funimass5 4780	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun F /\ (P( ball ` C)z) C_ dom F) -> ((P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)) <-> A.w e. (P( ball ` C)z)(F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)))
17	3, 15, 16	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)) <-> A.w e. (P( ball ` C)z)(F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)))
18		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((P( ball ` C)z) C_ X /\ w e. (P( ball ` C)z)) -> w e. X)
19	18, 11	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. (P( ball ` C)z)) -> w e. X)
20		biimt 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. X -> ((F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y) <-> (w e. X -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y))))
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. (P( ball ` C)z)) -> ((F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y) <-> (w e. X -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y))))
22	21	pm5.74da 646	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)) <-> (w e. (P( ball ` C)z) -> (w e. X -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)))))
23		bi2.04 177	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. (P( ball ` C)z) -> (w e. X -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y))) <-> (w e. X -> (w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y))))
24	22, 23	syl6bb 595	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)) <-> (w e. X -> (w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)))))
25		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> C e. Met)
26	25	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> C e. Met)
27		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> P e. X)
28	27	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> P e. X)
29		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> w e. X)
30		simplrr 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> (z e. RR /\ 0 < z))
31	9	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. Met /\ P e. X /\ w e. X) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (w e. (P( ball ` C)z) <-> (PCw) < z))
32	26, 28, 29, 30, 31	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> (w e. (P( ball ` C)z) <-> (PCw) < z))
33		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> D e. Met)
34	33	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> D e. Met)
35		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> (F` P) e. Y)
36	35	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> (F` P) e. Y)
37	36	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> (F` P) e. Y)
38		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:X-->Y /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
39	38	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F:X-->Y /\ P e. X) /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
40	39	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
41	40	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
42		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> (y e. RR /\ 0 < y))
43		metcn.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = dom dom D
44	43	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D e. Met /\ (F` P) e. Y /\ (F` w) e. Y) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> ((F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y) <-> ((F` P)D(F` w)) < y))
45	34, 37, 41, 42, 44	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> ((F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y) <-> ((F` P)D(F` w)) < y))
46	32, 45	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) /\ w e. X) -> ((w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)) <-> ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))
47	46	pm5.74da 646	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((w e. X -> (w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y))) <-> (w e. X -> ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))
48	24, 47	bitrd 587	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((w e. (P( ball ` C)z) -> (F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y)) <-> (w e. X -> ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))
49	48	ralbidv2 2125	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> (A.w e. (P( ball ` C)z)(F` w) e. ((F` P)( ball ` D)y) <-> A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))
50	17, 49	bitrd 587	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ ((y e. RR /\ 0 < y) /\ (z e. RR /\ 0 < z))) -> ((P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)) <-> A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))
51	50	anassrs 489	. . . . . . 7 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> ((P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)) <-> A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))
52	51	anassrs 489	. . . . . 6 |- ((((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ z e. RR) /\ 0 < z) -> ((P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)) <-> A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))
53	52	pm5.32da 711	. . . . 5 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ z e. RR) -> ((0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y))) <-> (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))
54	53	rexbidva 2120	. . . 4 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> (E.z e. RR (0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y))) <-> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))
55	54	anassrs 489	. . 3 |- (((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ y e. RR) /\ 0 < y) -> (E.z e. RR (0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y))) <-> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))
56	55	pm5.74da 646	. 2 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) /\ y e. RR) -> ((0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)))) <-> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))))
57	56	ralbidva 2119	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ (F:X-->Y /\ P e. X)) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ (P( ball ` C)z) C_ (`'F"((F` P)( ball ` D)y)))) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  "cima 3989  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  metcnp 9165  metcnp3 9174

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain