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Theorem metcnpi3 21610
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at  P. A variation of metcnpi2 21609 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnpi2 21609 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
4 rphalfcl 11356 . . . 4  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
54ad2antrl 739 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
6 simplll 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
7 simprr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
8 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109cnprcl 20310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  U. J )
121mopnuni 21505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
136, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrrd 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
15 xmetcl 21395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y C P )  e.  RR* )
166, 7, 14, 15syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y C P )  e.  RR* )
174ad2antrl 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR+ )
1817rpxrd 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR* )
19 rpxr 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
2019ad2antrl 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
z  e.  RR* )
21 rphalflt 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
2221ad2antrl 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  <  z )
23 xrlelttr 11482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  /\  ( z  / 
2 )  <  z
)  ->  ( y C P )  <  z
) )
2423expcomd 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( z  /  2
)  <  z  ->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( y C P )  <  z ) ) )
2524imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  ( z  /  2
)  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
z  /  2 )  <  z )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
27 simpllr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
281mopntopon 21503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
302mopntopon 21503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
32 cnpf2 20315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
3329, 31, 8, 32syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
3433, 7ffvelrnd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
3533, 14ffvelrnd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
36 xmetcl 21395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  P
)  e.  Y )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  e.  RR* )
3727, 34, 35, 36syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR* )
38 simplrr 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpxrd 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR* )
40 xrltle 11477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4137, 39, 40syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <  A  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4226, 41imim12d 77 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4342anassrs 658 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  ( ( y C P )  <_ 
( z  /  2
)  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A ) ) )
4443ralimdva 2808 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  X  (
( y C P )  <  z  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) ) )
4544impr 629 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
46 breq2 4420 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y C P )  <_  x  <->  ( y C P )  <_  (
z  /  2 ) ) )
4746imbi1d 323 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4847ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4948rspcev 3162 . . 3  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
505, 45, 49syl2anc 671 . 2  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
513, 50rexlimddv 2895 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   U.cuni 4212   class class class wbr 4416   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702    / cdiv 10297   2c2 10687   RR+crp 11331   *Metcxmt 19004   MetOpencmopn 19009  TopOnctopon 19967    CnP ccnp 20290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-topgen 15391  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cnp 20293
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