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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > metcnpi3 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Epsilon-delta property of
a metric space function continuous at ![]() |
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metcn.2 |
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metcn.4 |
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metcnpi3 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | metcn.2 |
. . 3
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2 | metcn.4 |
. . 3
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3 | 1, 2 | metcnpi2 21609 |
. 2
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4 | rphalfcl 11356 |
. . . 4
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5 | 4 | ad2antrl 739 |
. . 3
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6 | simplll 773 |
. . . . . . . . 9
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7 | simprr 771 |
. . . . . . . . 9
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8 | simplrl 775 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 9 | cnprcl 20310 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 8, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 1 | mopnuni 21505 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 6, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 11, 13 | eleqtrrd 2543 |
. . . . . . . . 9
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15 | xmetcl 21395 |
. . . . . . . . 9
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16 | 6, 7, 14, 15 | syl3anc 1276 |
. . . . . . . 8
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17 | 4 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | rpxrd 11371 |
. . . . . . . 8
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19 | rpxr 11338 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . 8
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21 | rphalflt 11358 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . 8
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23 | xrlelttr 11482 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | expcomd 444 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | imp 435 |
. . . . . . . 8
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26 | 16, 18, 20, 22, 25 | syl31anc 1279 |
. . . . . . 7
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27 | simpllr 774 |
. . . . . . . . 9
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28 | 1 | mopntopon 21503 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 6, 28 | syl 17 |
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30 | 2 | mopntopon 21503 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | 27, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | cnpf2 20315 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 29, 31, 8, 32 | syl3anc 1276 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33, 7 | ffvelrnd 6046 |
. . . . . . . . 9
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35 | 33, 14 | ffvelrnd 6046 |
. . . . . . . . 9
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36 | xmetcl 21395 |
. . . . . . . . 9
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37 | 27, 34, 35, 36 | syl3anc 1276 |
. . . . . . . 8
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38 | simplrr 776 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | rpxrd 11371 |
. . . . . . . 8
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40 | xrltle 11477 |
. . . . . . . 8
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41 | 37, 39, 40 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
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42 | 26, 41 | imim12d 77 |
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43 | 42 | anassrs 658 |
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44 | 43 | ralimdva 2808 |
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45 | 44 | impr 629 |
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46 | breq2 4420 |
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47 | 46 | imbi1d 323 |
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48 | 47 | ralbidv 2839 |
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49 | 48 | rspcev 3162 |
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50 | 5, 45, 49 | syl2anc 671 |
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51 | 3, 50 | rexlimddv 2895 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 ax-pre-sup 9643 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-iun 4294 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-er 7389 df-map 7500 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-sup 7982 df-inf 7983 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-div 10298 df-nn 10638 df-2 10696 df-n0 10899 df-z 10967 df-uz 11189 df-q 11294 df-rp 11332 df-xneg 11438 df-xadd 11439 df-xmul 11440 df-topgen 15391 df-psmet 19011 df-xmet 19012 df-bl 19014 df-mopn 19015 df-top 19970 df-bases 19971 df-topon 19972 df-cnp 20293 |
This theorem is referenced by: blocnilem 26494 |
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