Theorem metcnpi3 18529

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at P. A variation of metcnpi2 18528 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	|- ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnpi2 18528	. 2 |- ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) )
4		rphalfcl 10592	. . . 4 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
5	4	ad2antrl 709	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> C e. ( * Met ` X ) )
7		simprr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> y e. X )
8		simplrl 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
9		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
10	9	cnprcl 17263	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. U. J )
11	8, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. U. J )
12	1	mopnuni 18424	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( * Met ` X ) -> X = U. J )
13	6, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> X = U. J )
14	11, 13	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> P e. X )
15		xmetcl 18314	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y C P ) e. RR* )
16	6, 7, 14, 15	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( y C P ) e. RR* )
17	4	ad2antrl 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
18	17	rpxrd 10605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) e. RR* )
19		rpxr 10575	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
20	19	ad2antrl 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> z e. RR* )
21		rphalflt 10594	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) < z )
22	21	ad2antrl 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( z / 2 ) < z )
23		xrlelttr 10702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( y C P ) < z ) )
24	23	exp3acom23 1378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( z / 2 ) < z -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) ) )
25	24	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y C P ) e. RR* /\ ( z / 2 ) e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( z / 2 ) < z ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
26	16, 18, 20, 22, 25	syl31anc 1187	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( y C P ) < z ) )
27		simpllr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> D e. ( * Met ` Y ) )
28	1	mopntopon 18422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( * Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
29	6, 28	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
30	2	mopntopon 18422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( * Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
31	27, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		cnpf2 17268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
33	29, 31, 8, 32	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> F : X --> Y )
34	33, 7	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
35	33, 14	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
36		xmetcl 18314	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( * Met ` Y ) /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` P ) e. Y ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
37	27, 34, 35, 36	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* )
38		simplrr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR+ )
39	38	rpxrd 10605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> A e. RR* )
40		xrltle 10698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
41	37, 39, 40	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
42	26, 41	imim12d 70	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. X ) ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
43	42	anassrs 630	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. X ) -> ( ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
44	43	ralimdva 2744	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
45	44	impr 603	. . 3 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
46		breq2 4176	. . . . . 6 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( y C P ) <_ x <-> ( y C P ) <_ ( z / 2 ) ) )
47	46	imbi1d 309	. . . . 5 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) <-> ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
48	47	ralbidv 2686	. . . 4 |- ( x = ( z / 2 ) -> ( A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) <-> A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) )
49	48	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) <_ ( z / 2 ) -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
50	5, 45, 49	syl2anc 643	. 2 |- ( ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) /\ ( z e. RR+ /\ A. y e. X ( ( y C P ) < z -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) < A ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )
51	3, 50	rexlimddv 2794	1 |- ( ( ( C e. ( * Met ` X ) /\ D e. ( * Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( y C P ) <_ x -> ( ( F ` y ) D ( F ` P ) ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646  TopOnctopon 16914   CnP ccnp 17243

This theorem is referenced by:  blocnilem  22258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cnp 17246