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Theorem metcnpi3 20812
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at  P. A variation of metcnpi2 20811 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnpi2 20811 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
4 rphalfcl 11244 . . . 4  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
54ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
6 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
7 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
8 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109cnprcl 19540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  U. J )
121mopnuni 20707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
136, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
15 xmetcl 20597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y C P )  e.  RR* )
166, 7, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y C P )  e.  RR* )
174ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR+ )
1817rpxrd 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR* )
19 rpxr 11227 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
z  e.  RR* )
21 rphalflt 11246 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
2221ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  <  z )
23 xrlelttr 11359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  /\  ( z  / 
2 )  <  z
)  ->  ( y C P )  <  z
) )
2423expcomd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( z  /  2
)  <  z  ->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( y C P )  <  z ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  ( z  /  2
)  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
z  /  2 )  <  z )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
27 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
281mopntopon 20705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
296, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
302mopntopon 20705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
32 cnpf2 19545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
3329, 31, 8, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
3433, 7ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
3533, 14ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
36 xmetcl 20597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  P
)  e.  Y )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  e.  RR* )
3727, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR* )
38 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpxrd 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR* )
40 xrltle 11355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <  A  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4226, 41imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4342anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  ( ( y C P )  <_ 
( z  /  2
)  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A ) ) )
4443ralimdva 2872 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  X  (
( y C P )  <  z  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) ) )
4544impr 619 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
46 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y C P )  <_  x  <->  ( y C P )  <_  (
z  /  2 ) ) )
4746imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4847ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4948rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
505, 45, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
513, 50rexlimddv 2959 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   2c2 10585   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   MetOpencmopn 18207  TopOnctopon 19190    CnP ccnp 19520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cnp 19523
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