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Theorem metcnpi3 21492
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at  P. A variation of metcnpi2 21491 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnpi2 21491 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
4 rphalfcl 11327 . . . 4  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
54ad2antrl 732 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
6 simplll 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
7 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
8 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109cnprcl 20192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  U. J )
121mopnuni 21387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
136, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
15 xmetcl 21277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y C P )  e.  RR* )
166, 7, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y C P )  e.  RR* )
174ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR+ )
1817rpxrd 11342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  e.  RR* )
19 rpxr 11309 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
2019ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
z  e.  RR* )
21 rphalflt 11329 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
2221ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  /  2
)  <  z )
23 xrlelttr 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  /\  ( z  / 
2 )  <  z
)  ->  ( y C P )  <  z
) )
2423expcomd 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( z  /  2
)  <  z  ->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( y C P )  <  z ) ) )
2524imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  ( z  /  2
)  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
z  /  2 )  <  z )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
27 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
281mopntopon 21385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
302mopntopon 21385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
32 cnpf2 20197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
3329, 31, 8, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
3433, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
3533, 14ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
36 xmetcl 21277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  P
)  e.  Y )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  e.  RR* )
3727, 34, 35, 36syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR* )
38 simplrr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpxrd 11342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR* )
40 xrltle 11448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4137, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <  A  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4226, 41imim12d 77 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4342anassrs 652 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  ( ( y C P )  <_ 
( z  /  2
)  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A ) ) )
4443ralimdva 2840 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  X  (
( y C P )  <  z  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) ) )
4544impr 623 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
46 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y C P )  <_  x  <->  ( y C P )  <_  (
z  /  2 ) ) )
4746imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4847ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4948rspcev 3188 . . 3  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
505, 45, 49syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  A  e.  RR+ )
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
513, 50rexlimddv 2928 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   2c2 10659   RR+crp 11302   *Metcxmt 18890   MetOpencmopn 18895  TopOnctopon 19849    CnP ccnp 20172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cnp 20175
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