Theorem metcnp4lem2 9247

Description: Lemma for metcnp4 9248.

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.1	|- X = dom dom C
metcnp4.3	|- Y = dom dom D
metcnp4.c	|- J = (Open` C)
metcnp4.d	|- K = (Open` D)
metcnp4.5	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (f` j)))}

Assertion

Ref	Expression
metcnp4lem2	|- (((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> ((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))))

Distinct variable groups:   f,k,m,w,x,z,C   D,f,k,m,w,x,z   f,j,y,F,k,m,w,x,z   k,G,m,x,z   w,J,x,z   x,K   P,f,k,m,w,x,z   f,X,j,k,m,w,x,z   f,Y,j,k,m,w,x,y,z

Proof of Theorem metcnp4lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnp4.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = dom dom C
2		1z 7368	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 7608	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = (ZZ>=` 1)
4	1, 2, 3	lmcvg 9210	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ P e. X /\ f(~~>m` C)P) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)))
5	4	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. Met /\ P e. X /\ f(~~>m` C)P) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z))))
6	5	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ P e. X) /\ f(~~>m` C)P) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z))))
7	6	ad2ant2rl 447	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z))))
8		metcnp4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Y = dom dom D
9		metcnp4.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J = (Open` C)
10		metcnp4.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- K = (Open` D)
11		metcnp4.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (f` j)))}
12	1, 8, 9, 10, 11	metcnp4lem1 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (G` m) = (F` (f` m)))
13	12	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> ((G` m)D(F` P)) = ((F` (f` m))D(F` P)))
14	13	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ m e. NN) /\ ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> ((G` m)D(F` P)) = ((F` (f` m))D(F` P)))
15		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (w = (f` m) -> (wCP) = ((f` m)CP))
16	15	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w = (f` m) -> ((wCP) < z <-> ((f` m)CP) < z))
17		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w = (f` m) -> (F` w) = (F` (f` m)))
18	17	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (w = (f` m) -> ((F` w)D(F` P)) = ((F` (f` m))D(F` P)))
19	18	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w = (f` m) -> (((F` w)D(F` P)) < x <-> ((F` (f` m))D(F` P)) < x))
20	16, 19	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = (f` m) -> (((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) <-> (((f` m)CP) < z -> ((F` (f` m))D(F` P)) < x)))
21	20	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> ((f` m) e. X -> (((f` m)CP) < z -> ((F` (f` m))D(F` P)) < x)))
22	21	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) /\ ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> ((F` (f` m))D(F` P)) < x)
23	22	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> ((F` (f` m))D(F` P)) < x)
24	23	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ m e. NN) /\ ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> ((F` (f` m))D(F` P)) < x)
25	14, 24	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ m e. NN) /\ ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> ((G` m)D(F` P)) < x)
26	25	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ m e. NN) -> (((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z) -> ((G` m)D(F` P)) < x))
27	26	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) /\ m e. NN) -> ((k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))
28	27	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) -> (A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))
29	28	reximdv 2202	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:X-->Y /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))
30	29	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (F:X-->Y -> (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
31	30	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (F:X-->Y -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
32	31	ad2antlr 441	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m) e. X /\ ((f` m)CP) < z)) -> (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
33	7, 32	syld 30	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
34	33	exp3a 405	. . . . . 6 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> (z e. RR -> (0 < z -> (A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))))
35	34	imp4a 391	. . . . 5 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> (z e. RR -> ((0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
36	35	r19.23adv 2215	. . . 4 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> (E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))
37	36	imim2d 28	. . 3 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> ((0 < x -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x))) -> (0 < x -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
38	37	ralimdv 2172	. 2 |- ((((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ (f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P)) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x))))
39	38	ex 402	1 |- (((C e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> ((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)P) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((G` m)D(F` P)) < x)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  {copab 3395  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  Metcme 9066  Opencopn 9069  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  metcnp4 9248

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345  df-uz 7587  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain