Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metcnp3 21555
 Description: Two ways to express that is continuous at for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2
metcn.4
Assertion
Ref Expression
metcnp3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5
21mopntopon 21454 . . . 4 TopOn
323ad2ant1 1029 . . 3 TopOn
4 metcn.4 . . . . 5
54mopnval 21453 . . . 4
74mopntopon 21454 . . . 4 TopOn
873ad2ant2 1030 . . 3 TopOn
9 simp3 1010 . . 3
103, 6, 8, 9tgcnp 20269 . 2
11 simpll2 1048 . . . . . . . 8
12 simplr 762 . . . . . . . . 9
13 simpll3 1049 . . . . . . . . 9
1412, 13ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
15 simpr 463 . . . . . . . 8
16 blcntr 21428 . . . . . . . 8
1711, 14, 15, 16syl3anc 1268 . . . . . . 7
18 rpxr 11309 . . . . . . . . . 10
1918adantl 468 . . . . . . . . 9
20 blelrn 21432 . . . . . . . . 9
2111, 14, 19, 20syl3anc 1268 . . . . . . . 8
22 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10
23 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12
2423anbi2d 710 . . . . . . . . . . 11
2524rexbidv 2901 . . . . . . . . . 10
2622, 25imbi12d 322 . . . . . . . . 9
2726rspcv 3146 . . . . . . . 8
2821, 27syl 17 . . . . . . 7
2917, 28mpid 42 . . . . . 6
30 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . 12
3130ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
32 simplrr 771 . . . . . . . . . . 11
33 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
341mopni2 21508 . . . . . . . . . . 11
3531, 32, 33, 34syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10
36 imass2 5204 . . . . . . . . . . . . 13
37 sstr2 3439 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3938com12 32 . . . . . . . . . . 11
4039reximdv 2861 . . . . . . . . . 10
4135, 40syl5com 31 . . . . . . . . 9
4241expimpd 608 . . . . . . . 8
4342expr 620 . . . . . . 7
4443rexlimdv 2877 . . . . . 6
4529, 44syld 45 . . . . 5
4645ralrimdva 2806 . . . 4
47 simpl2 1012 . . . . . . . . 9
48 blss 21440 . . . . . . . . . 10
49483expib 1211 . . . . . . . . 9
5047, 49syl 17 . . . . . . . 8
51 r19.29r 2926 . . . . . . . . . 10
5230ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5313ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
561blopn 21515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5752, 53, 55, 56syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 blcntr 21428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6052, 53, 58, 59syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261ad2ant2l 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6764, 66anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . 15
6957, 60, 63, 68syl12anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14
7069expr 620 . . . . . . . . . . . . 13
7170rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . 12
7271expimpd 608 . . . . . . . . . . 11
7372rexlimdva 2879 . . . . . . . . . 10
7451, 73syl5 33 . . . . . . . . 9
7574expd 438 . . . . . . . 8
7650, 75syld 45 . . . . . . 7
7776com23 81 . . . . . 6
7877exp4a 611 . . . . 5
7978ralrimdv 2804 . . . 4
8046, 79impbid 194 . . 3
8180pm5.32da 647 . 2
8210, 81bitrd 257 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   wss 3404   crn 4835  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cxr 9674  crp 11302  ctg 15336  cxmt 18955  cbl 18957  cmopn 18960  TopOnctopon 19918   ccnp 20241 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cnp 20244 This theorem is referenced by:  metcnp  21556
 Copyright terms: Public domain W3C validator