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Theorem metcnp 20116
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous at point  P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnp  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, F    w, J, y, z    w, K, y, z    w, X, y, z    w, Y, y, z    w, C, y, z    w, D, y, z    w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnp3 20115 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
4 ffun 5561 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
54ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  Fun  F )
6 simpll1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
7 simpll3 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
8 rpxr 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  z  e.  RR* )
10 blssm 19993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) z ) 
C_  X )
116, 7, 9, 10syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( P
( ball `  C )
z )  C_  X
)
12 fdm 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  dom  F  =  X )
1411, 13sseqtr4d 3393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( P
( ball `  C )
z )  C_  dom  F )
15 funimass4 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( P ( ball `  C
) z )  C_  dom  F )  ->  (
( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  A. w  e.  ( P ( ball `  C ) z ) ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) )
165, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  ( P ( ball `  C
) z ) ( F `  w )  e.  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
17 elbl 19963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  <->  ( w  e.  X  /\  ( P C w )  < 
z ) ) )
186, 7, 9, 17syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( w  e.  ( P ( ball `  C ) z )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z ) ) )
1918imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  -> 
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( ( w  e.  X  /\  ( P C w )  < 
z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) ) )
20 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) ) )
21 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
23 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  y  e.  RR+ )
2423rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  y  e.  RR* )
25 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  F : X --> Y )
267adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  P  e.  X )
2725, 26ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  P )  e.  Y )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  F : X
--> Y )
2928ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  e.  Y )
30 elbl2 19965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  y  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  w )  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  <->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) )
3122, 24, 27, 29, 30syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y )  <->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) )
3231imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3332pm5.74da 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  X  -> 
( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) )  <->  ( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
3420, 33syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
3519, 34bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  -> 
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
3635ralbidv2 2737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. w  e.  ( P
( ball `  C )
z ) ( F `
 w )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3716, 36bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3837anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
3938rexbidva 2732 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
4039ralbidva 2731 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
4140pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
423, 41bitrd 253 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   "cima 4843   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RR*cxr 9417    < clt 9418   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803   MetOpencmopn 17806    CnP ccnp 18829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cnp 18832
This theorem is referenced by:  metcnp2  20117  metcn  20118  metcnpi  20119  txmetcnp  20122  abelth  21906  qqhcn  26420
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